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일단 자명해 (2,2,2,2)네요
이제 (X,Y,2,2)가 위 식을 만족한다고 합시다 그러면 (Y,X,2,2)가 위 식을 만족시킴은 자명합니다.
그러면 X^2+Y^2=4(XY-1) 입니다
이제 Y를 고정시키면
X는 t^2-4Yt+Y^2+4=0 의 한 해이기 때문에 비에타 정리에 의해서 X 말고 다른 한근은 4Y-X가 됩니다.
결국 (4Y-X,Y,2,2), (Y,4Y-X,2,2)도 위 식의 한 해가 됩니다. ... (1)
이제 수열 a_i에 대해 a_{n+2}=4a_{n+1}-a_{n} 라 합시다 (단, a_1 = 2, a_2 = 2)
그려면 모든 자연수 n에 대해 (1)에서
(a_{n},a_{n+1},2,2)는 문제에 주어진 식의 해가 됩니다.
위 점화식의 특성방정식은 t^2-4t+1=0 이고
t=2\pm\sqrt{3} 이 근입니다.
p=2+\sqrt{3}, q=2-\sqrt{3} 라 합시다.
그러면 점화식은 결국
a_{n+2}-pa_{n+1}=q(a_{n+1}-pa_{n}) ... (2)
a_{n+2}-qa_{n+1}=p(a_{n+1}-qa_{n}) ... (3)
를 비에타 정리에서 만족시킵니다.
b_{n} := a_{n+1}-pa_{n}
c_{n} := a_{n+1}-qa_{n}
라 합시다
(2) <=> b_{n+1} = qb_{n} = q^{n} b_1
(3) <=> c_{n+1} = pc_{n} = p^{n} c_1
한편, a_{n+1}(q-p)=qb_{n}-pc_{n} = q^{n+1} b_1 - p^{n+1} c_1
=> a_{n+1} = (p^{n+1} c_1 - q^{n+1} b_1)/(p-q)
입니다.
이때 c_1 > 0 이고 \limit_{n -> \infty} a_{n+1} = \infty 이니 a_{n}은 충분히 큰 N에 대하여 n > N 일때 증가합니다.
따라서 a_{n}의 서로 다른 값들은 무한하며, 주어진 식의 해 또한 무한합니다.
수올 무상따리지만 의대논술 준비하며 배운것들로 이렇게 끄적여봅니다 ㅎㅎ
추가: c_1 > 0, b_1 < 0 이고 p > 1, 0 < q < 1때문에 양의 무한대로 발산한다고 해야 설명이 더 자연스러워지네요
오!
이거이 뭐시당까...
하.. 이런건 대학수학인데 중고등생보고 풀라고 하고 있으니....
중고등학교 교육과정으로 충분히 풀 수 있습니다. 2차 방정식에서 비에타 정리는 근과계수의 관계이기 때문에 대학별 고사에서도 충분히 낼려면 낼 수 있는 내용이긴 합니다 (물론 저런 스타일의 문제를 좋아하는 학교는 현재 없습니다)
하.. 어렸을땐 이런거 많이 했는데 나이드니깐 생각하려고 뇌에 ATP 부으니깐 뇌가 토하려고해 ㅠㅠ
ㅎㅎ재밌죠
비에타 점핑 오랜만에 보네요
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/dangi_animated/007.gif)
의뱃이 이걸?수학과 갔으면 저런 거 해야하는구나
가형킬러보다 재밋는뎅..
저러한 문항들 몇 번 접하다 보면 재미를 느낄 수 있을 것 같긴 합니다 하지만 지금의 저로서는 ㅜㅜ
저분 나중에 필즈상까지 받으셨더라고요
imo 출전하는 사람들은 진짜 벽느껴짐
이거보다 가형 킬러가 훨씬 재밌는거보니 수학 잘나온다고 수학과갔으면 큰일날뻔했네ㅋㅋ
수학을 잘하는게 아니고 퍼즐을 잘하는거였노
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/oribi/037.png)
ㄹㅇ 수능 수학 잼씀![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/oribi_animated/016.gif)
수능도 재미없진 않아요ㅎㅎ이...이게뭐고..
참고)수학과 가도 저런거 안품, 못품. 그저 theorem/proof 컨셉 이해하는척 하면서 외울 뿐입니다
혹시 선배님이신가요,,
근데 저런 문제는 누가 출제하는거에요? 출제한 사람들은 풀이까지 다 알고있는거죠?
그쵸 근데 저렇게 풀진 않았던거죠 원래는
영과고 행님들 존경합니다
정보)저런 세계구급 천재들 사이에서 세계 10등안에 드는 학생들 우리나라 설곽 경곽에서 몇명씩 나온다
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/factbot/04.png)
??? : 챗GPT야 이거 풀어줘