[박주혁T] 변곡접선, 모르면 안될까?
변곡접선 모르면 안될까.pdf
수기분 가형 맛보기.pdf
수기분 나형 맛보기.pdf
안녕하세요?
오르비 클래스의 둥이아빠 + 수학강사인 박주혁t 입니다.
이 글은 제가 예전에 쓴 글인
"변곡점, 일까요?"
http://orbi.kr/0005669106
이 글과 함께 읽으면 더욱 좋을것 같은 글입니다.
우리가 지금시기에 보통은 여러가지 개념을 배웁니다.
교과서를 예전보다는 중시하는 편이긴 하지만,
그래도 인강이나 현강을 통해 개념공부를 하는 분들이 많이 있지요.
그 중에서 "변곡접선" 이란 것이 있습니다.
이런식으로, 3차함수 스타일의 그래프에서 변곡접에서의 접선을
그리고, 그 성질이라던가 뭐 그런것들을 이용하는 것입니다.
그리고, 이 그래프는 위로 볼록에서 아래로 볼록으로 변화하는
상황이므로,
f'(x)≥f'(α)
인 상황이죠.
(접선의 기울기 크기의 변화양상을 관찰하면
금방 이해하실 겁니다)
이걸 이용해서
문제를 하나 풀어보겠습니다.
많이들 보셨을것 같은,
2016학년도 9월평가원 이과 30번 문제입니다.
(안풀어보신 분들은 먼저 풀어보세요)
우선 간단하게 풀이를 들어가보죠.
여기까지는 뭐 대동소이 하게 갑니다.
그 다음이 문제인데요,
이렇게 평균값의 정리를 이용해서,
f'(c)+1≥0
이므로
f'(x)≥ -1
가 됩니다.
(논리전개는 EBS해설을 가져왔습니다)
해석하면, f'(x)의 최솟값이 -1 이상이면 됩니다.
이제 변곡접선을 쓰는거죠.
그래프를 그리면 아래와 같이 나오므로
(수정했습니다)
인 상황이니, 변곡점에서의 접선의 기울기인 f'(1) 이 최솟값이 되고,
f'(1)≥ -1
f'(1)=-2ae≥ -1
인 범위가 나오고,
답은 나머지 연산을 통해서 구하면 15가 답이 됩니다.
시중에 많이 나오는 풀이와는 조금 다를수도 있습니다만.
이렇게 풀게되면 연산량이 줄어버리기 때문에,
즐겨쓰시는 분들이 있는 풀이입니다.
그런데,
변곡접선이라는걸 모르면
어떻게 될까요?
모르면 못 푸는걸까요?
기출문제 분석이라함은,
단지 풀이법을 알고 넘어가는 것 만이 아니라,
출제의도가 무엇일까도 한번 고민해 보아야 하고,
여러가지 풀이가 있을 경우에,
어떠한 풀이가 출제의도일까?
어떠한 개념이 사용된 것일까?
이 조건이 어떻게 해석되는 것일까?
등등을 고민해 보아야 합니다.
그럼 이 문제를
다르게 한번 풀어봅시다.
(가) 조건 해석까지는 같습니다.
여기까지는 동일한거죠.
그리고 이제, (나)조건을
평균값정리로 가지 말고,
있는 그대로 해석해 보겠습니다.
(유사한 상황은 2017수능 가형 30번에서도 나옵니다.
식을 나눌것인가, 그대로 둘 것인가에 대한 고민이죠)
이 되므로,
h(x)는 증가함수 (x≥0) 입니다.
h'(x)=f'(x)+1≥0
h''(x)=f''(x)은 h'(x)의 도함수 이므로,
위의 연산을 이용하면, x=1에서 f'(x)가
극소이면서 최소이므로
f'(1)+1≥0
f'(1)≥ -1
f'(1)=-2ae≥ -1
이 나옵니다.
같은 정답이지요.
어떤가요?
'변곡접선' 이라는 하나의 도구를 얻었다고
"단순히" 좋아하고 그 활용을 익히는 것보다는,
이러한 방식으로
문제를 바라보는 시각을 익히는것이,
그리고
변곡접선보다
후자의 풀이가
교과개념을 이용한 풀이라는것도
같이 공부하시는 것이
조금 더 수학실력을 올리는 길이 아닐까 합니다.
사실 이 문제 말고도,
변곡접선으로 풀리는 문제들이
평가원에서는 꽤 많이 보이는데요,
그 문항들 모두를,
변곡접선이라는 것 자체를
완전히 배제한 풀이로도 연습을 해 보아야 한다고 봅니다.
그래야 제대로 된 기출분석이고,
그 과정에서 진짜 수학실력이 업그레이드 됩니다.
모두 평가원 기출문제이고요,
변곡접선 풀이와
이를 완전히 배제한 풀이가 가능합니다.
두가지 모두 다 연습하세요.
2018 수기분 가형
http://class.orbi.kr/class/1013/
5강에서 (설연휴 끝나면 업로드)
무료로 해설을 들을수 있게 하겠습니다.
+
2018 수기분 나형
http://class.orbi.kr/class/1014/
도 오픈했습니다
맛보기 파일도 있으니,
기출분석을 어떤식으로 하는지
들어보시면 얻어갈 부분이 분명히
있을것으로 보입니다.
겨울은 다시한번 말씀드리지만,
레벨업하기에
가장 좋은 시기입니다.
수학도 마찬가지입니다.
많이 고민하고,
많이 생각합시다.
스킬이나 도구에 집착하지 마시고,
진짜 레벨업을 하시면 좋겠습니다.
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주혁t는 선좋아요 후감상
AtoZ 강의 잘 보고있어요! 감사합니다
감사합니다^^
좋은 글 감사합니다.
도움이 되시면 좋겠습니다~
변곡접선이라는 용어는 통용된건가요???
제가 만든 말은 아닌게 확실하고요,
보통 그런식으로 용어들을 사용하더라고요.
변곡점에서의 접선이 중요하긴한데 평가원에서 하두 많이 내서 다 잘푸는거 같네요... 1609문제도 정답률이 높았던거같고...
네, 그래서 그런지
너무들 그것만 사용하려는 학생들이 꽤 보여서 글을 쓴거에요^^
보통 기출분석이 변곡접선 같은 개념을 알아내는 거라고 하던데 아니였군요
기출분석을 통해 알수있는것들 이긴 하지만,
그런것을 알아가는것만이 기출분석의 진짜 의미는 아니라고 봅니다.
뚫접! 이라고도 하던데 ㅋㅋ
좋은 글 언제나 감사합니다 ㅎㅎ
스접 / 뜷접 뭐 이런말들도 많이들 쓰더라고요^^
선생님 새해복 많이 받으세요^^ 현강에서뵈요. 수분감 따로 더 하면 도움이 될까요?
새해복 많이 받고^^ 열공해서 렙업 합시다~
수업때 만나서 이야기 해요^^
변곡점 공부하고 있는데 이 칼럼이 똷!!
똷!! ㅋㅋㅋ
글 안에 있는 링크도 타고가서 읽어주시면 더 좋아요~
(5번째 줄에 있는 링크입니다^^)
9평때 저렇게 푼 기억이 나네요 ㅋㅋㅋ 지금은 옆에 해설 두고도 못 풀것 같지만...ㅜㅜ
좋은 글 감사합니다!!
대학생활중이신가요^^
저 문제는 재작년 문제이니까요 ㅋ
새해 복 많이 받으세요~
저것몰라도되는개념인가요?
Or 기출공부하다가 얻을수있는 개념인가요?
교육청모의1등급인이과학생인데, 고3올라갑니다
독학인데 저런것들 필수인가요? 선택인가요
변곡접선을 이야기 하시는 건가요?
모르셔도 되긴 합니다^^
설 연휴끝나고 수기분 가형 5강도 맛보기로 할거니까
한번 보시면 될것 같아요~
그런데 후자의 풀이는 이해하시고 가셔야 합니다~
제가 항상 생각하던 관점이랑 완전 똑같아서 소름..
캬.... 고수의 냄새가 나십니다^^
교과외나 다름없죠 빡t도 크포에서 순수 변곡접선으로만 풀리는 문제는 한번정도만 경험하고 다 거르라고 말하신듯이 ..
바로 그렇습니다~^^
도함수 잘못 구하셨네요 ㅜㅠ 한참을 봤네요 ㅜㅠ
헉 제가 여기 해설의 연산은 전부 공개해설pdf잘라서
붙인건데 틀렸나요?ㅠ
이동중이라 잠시 후에 수정하겠습니다~
제일처음에 도함수 구할때 과정은 맞는데, 결과만 틀렸습니다! 원래 이런거 그냥 넘기는데 주제가 흥미로워서 하나씩 꼼꼼이 읽다보니까 저도 모르게 말했습니다..ㅎ
꼼꼼한 지적은 언제나 감사한일입니다^^
공개 PDF에서 연산부분만 잘랐는데 틀린부분이 있었네요 진짜ㅋ
이제 수정했습니다~
오..뭔가 내공있네요
그냥 교과개념으로 풀어내는 연습을 하는것이
어설프게 도구정리하는것보다 중요하다는 이야기입니다^^
근과계수의 관계에서 a분의 2a+b는 0인데 이같은경우는 a분의를무시하고 2a+b=0이렇게써도 무방한가요?
문제에서 a는 양수 조건이 있습니다~
저는 변곡접선을 써본적이 없는데,
결국 도함수와 이계도함수의 관계가 원함수와 도함수의 관계와 같다는것만 숙지하면
왠만큼 다 커버가 되더라구요
그정도라면 변곡접선이 아니라, 도함수의 극대극소로 이용하는거고
교과서의 풀이의 확장이라고 생각해도 되지않을까요?
모든 학생이 그렇게만 적용할수 있다면 좋겠어요~^^
보통은 변곡접선을 배우고 나면,
맥락없이
'그래프개형이 유사하군'
'그렇다면 한번 사용해 보자'
이런식으로 사용하면서 그게 수학적발상이라느니
뭐 이런식으로 접근하는 친구들이 많아서,
쓰게 된 칼럼입니다^^
댓글 감사합니다!! ^^
좋은 내용의 칼럼 잘 읽었습니다.
교과서적 사고가 기반이긴한데, 사실 교과서 자체로는 딱딱합니다
모든 공교육 선생님이 다 실력자일 수도 없구요.
이러한 내용의 칼럼이 많이 필요하지 않나 생각합니다. 수고하셨습니다.
저도 바로 윗분처럼 변곡접선에서 기울기가 최대/최소가 된다는 걸로 푼 적은 없었네요. 근데 도함수의 함숫값이 최소가 된다라는 것을 이용해 도함수의 극값을 구해서 풀다보면 결국엔 변곡점에서 최대최소가 나오더라구요... 단순히 결과만 외우는 것이 아닌 이유까지 알면서 체화된다면 문제될 것이 없겠죠?
네, 제가 쓰는 칼럼도 그런식의 사고방식을 통해
문제를 풀어보자는 것 이고요,
잘하고 계시네요~^^
도함수 자체를 새로운 함수로 생각하고 풀었네용 ㅎ
제목에 떡하니 변곡접선이라 적혀 있는데도 풀이에 그런 생각을 못했어요 ㅋㅋㅋㅋ
현역때 이렇게 다양한 사고를 길렀으면 어땠을까..하네요. 그때는 그냥 문제풀기에만 급급했던거 같아서 ㅜ
네, 보통은 이야기 하신대로
'문제풀이'에만 급급한 경우가 많아서요(고3기준)
칼럼을 쓰게 되었습니다^^
변곡접선 풀이는 식으로 함수 세팅해서 풀어도 잘 풀리죠 ㅋㅋ
여담이지만 저 ebs 풀이에서 평균값 정리를 쓰면 안된다는 의견도 있습니다
네 저도 그걸 알고 있어서^^
다른방법으로도 풀었네요~
왜 평균값정리를 사용하면 안되는지 자세히 설명해주실 수 있나요?
사용하면 안된다는 말은 안했구요,
논리적으로 문제점이 있다는 지적이 있긴 했습니다~
변곡접선이라는게 저는 그냥 당연히 그림으로 관찰하면서 변곡점의 특징등으로 당연하다 생각해왔는데 인터넷에서는 이걸 무슨 한가지 개념이나 스킬등으로 취급해서 상당히 신기했는데...
안 신기한거 맞습니다^^
저는 이 문제 풀이에 아직도 궁금한점이.. 제가 저 문제 부분에 대해 평균값 정리를 적용할 수 있는지 교수님께 여쭈어 보았었는데 할 수 없는 풀이라고 하시더라구요.. 그 부분에 대해선 극한을 취해 미분계수로 해석하는게 맞다고 하셨었는데 제가 글을 읽다가 본건데 어떤 논술 문제에서는 임의의 실수 x에 대하여 닫힌구간 [x, x+1]에서는 평균값 정리를 그냥 취해서 풀더라고요 위의 경우는 구간의 크기가 정해지지 않은 임의의 두 실수이기에 평균값 정리로 해석이 불가능한건지.. 어떻게 생각해야 옳을까요..?
평균값 정리가 논란이 여지가 있는 풀이는 맞고요,저도 식을 변형하면 극한취해 미분계수로 가는게 맞다고 봅니다
와 벌써 저 쌍둥이들이 유치원 다니는구나.. 시간..
네~ 유치원 다니고 있어요 ㅋㅋㅋ
좋은글감사합니다
그런데 b=-2a c=-a 를 fx에 넣은후 x=0값이 자꾸 -a로 음수가되는데 저 그래프개형과 일치하지가않네요
물론 제 식이 틀린거같긴해요( 변곡을 x=1에서 가져야하니...)
뭐가잘못된걸까요...
아뇨 제가 공개풀이를 잘라서 개형을 가져왔는데
그게 틀렸네요ㅜ
직접 수식 입력해서 그린 그래프로 교체했습니다~
변곡점 위치랑 y절편이 틀리게 그려져
있던게 맞아요ㅠ
수정했습니다^^
와.. 저는 문돌이라 이해가 전혀 안되긴 하지만 얼마나 공부를 하면 이렇게,수학에 정통하게,되나요....
아뇨, 어려운것 처럼 보이나(문과에게는)
그냥 교과서 개념으로 문제를 풀어나가는 과정을
글로 풀어쓴거에요~^^
선생님 칼럼보고 제가 많이 부족하다는 것을 알게 되었습니다.
글 내용과는 상관이 없지만 혹시 수학기출문제집좀 추천해주실수 있을까요?
재수생이고 지금 실력정석풀고있습니다. 기타 조언좀 부탁드릴게요ㅠ
쪽지드렸어요~