e^ax sinbx 함수의 부정적분 구하는 방법과 그 확장(선형대수학을 이용한 적분방법)
보통 이 적분은 부분적분법을 써서 구하는 방법이 일반적입니다.
그런데 다음과 같이 이 함수를 직접 적분하지 않고 부정적분을 구하는 방법이 있습니다.
e^ax sinbx를 먼저 미분해보죠.
e^ax(asinbx+bcosbx) 가 되겠죠? 이번엔 e^ax cosbx를 미분해봅시다.
e^ax(acosbx-bsinbx) 네요?
아하! 둘다 sinbx, cosbx를 가지고 있네요! 그렇다면 이것들을 적당한 수를 곱해서 더해주면 e^ax sinbx를 얻을 수 있을겁니다.
그러니까,
e^ax(Asinbx+Bcosbx)를 미분한 식이 e^ax sinbx가 되는 A, B를 찾을 수 있다는 겁니다.
음 위 식의 도함수는 e^ax { (aA -bB)sinbx + (aB+bA)cosbx } 이니까 이것이 e^ax sinbx와 같기 위해서는,
aA-bB=1, aB+bA=0이어야 합니다. 이건 일차방정식이죠.
(a -b)(A)=(1)
(b a)(B) (0)
(괄호가 위아래로 이어져있습니다.)
그럼 위 행렬의 역행렬을 구해서 양변에 곱해주면 A, B를 구할 수 있어요
그 값은 A=a/(a^2+b^2), B=-b/(a^2+b^2) 겠죠? 한편 e^axcosbx는 위 일차방정식의 우변 벡터가 0, 1인 경우니까 이 경우에는 A=b/(a^2+b^2), B=a/(a^2+b^2)가 됩니다.
따라서 e^ax sinbx의 부정적분은 e^ax/(a^2+b^2) * (asinbx-bcosbx)입니다. 그리고 e^ax cosbx의 부정적분은 e^ax/(a^2+b^2) * (bsinbx+acosbx)입니다.
적분을 미분을 통해서 구한셈이죠.
e^ax sinbx coscx 라는 복잡한 함수의 적분을 구할 때에도 위와 같은 방법을 이용할 수 있습니다.
이때는 물론 4*4행렬의 역행렬을 구해야 겠죠.
원리가 궁금하신분들은 아래 내용을 참조하세요.
이 글의 요지는 sin, cos, exponential의 x의 계수가 서로 다른 일차곱으로 이루어진 함수는 선형대수학을 이용하면 얼마든지 부정적분을 구할 수 있다는 이야깁니다.
미분은 선형사상입니다. 한편 선형사상f의 image에 있는 원소 b의 역상은 f(a)=b인 a에 대해 a+Ker(f) 입니다. 우리가 부정적분을 하는 과정은 바로 a를 구하는 과정이었죠. (미분 operator의 kernel은 상수함수이므로 a+Ker(f)는 부정적분 + 적분상수가 되는 것입니다)
위 적분법의 아이디어는 T-invariant subspace(사상 T에 대해 불변인 부분공간)의 개념을 응용한 것입니다.
exponential, cos, sin과 같은 함수의 곱들을 기저로 갖는 벡터공간을 생각하자는 겁니다. 얘네들은 미분을 해도 결국엔 같은 집합에 속하기 마련이죠. 이 부분공간안에서 미분사상은 다름아닌 bijection이 됩니다. (1이 기저로 있지 않으므로 상수함수가 이 공간안에 존재할 수 없고, 따라서 미분함수는 injection. surjective는, dimension이 같으므로...) 종합하자면 미분사상이 기저를 어디로 보내는지를 통해서 "가역"행렬을 직접 구할 수 있으므로 원하는 함수의 부정적분을 역행렬을 곱해서 구할 수 있다는 이야기입니다.
여기서 질문(ㅋㅋㅋ...)
역행렬을 어떻게하면 쉽게 구할 수 있을까요?
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슈뢰딩거님답게
수리 게시판에는 금지된 수학문제 질문이 아닌 글을 쓰시면서
또 수학적으로 좋은 글을 써주셨군요!
제가 방금전에 이 문제가지고 다시 생각해봤는데
cos,sin 함수들이 n번 곱해진 함수공간에서의 미분행렬을 점화식으로 찾은것 같아요!
먼저 위의 삼각함수들이 n번 곱해진 함수공간(이걸 n-TFP space(n-삼각함수곱공간)라고 부를게요 편의상...)의 기저는 2^n개입니다. 이 기저의 순서를 잘 매겨서 {v_i,n}이라 합시다. 그리고 x의 계수들을 r_i로 매길게요.
그러면 이제 n+1-TFP space의 기저를 잡는 방법이 문제가 되는데,
v_i,n+1=v_i,n*sin(r_n+1x) (i<=2^n 일때)
v_i,n+1=v_i-2^n,n*cos(r_n+1x) (i>2^n 일때)로 정의하면,
T_n(n-TFP space에서의 미분사상)에 대해서
T_n+1(v_i,n+1)=(T_nv_i,n)sin(r_n+1x)+r_n+1v_i+2^n,n+1 (i<=2^n 일때)
=(T_nv_i-2^n,n)sin(r_n+1x)+r_n+1v_i-2^n,n+1 (i>2^n)가 됩니다.
따라서 n에 관한 미분행렬 T의 점화식을 다음과 같이 얻습니다.
T_n+1= T_n -r_n+1*I_n(n by n 항등행렬)
r_n+1*I_n T_n
역행렬 점화식 까지 찾아냈다면 더 기분좋을 것 같은데 생각대로 안되네요 그건...
차라리 삼각함수 덧셈정리를 n번 써서 전개 하는게 나으려나 -_-...
T_2 구해서 sinaxsinbx 시험삼아 적분해봤더니 -a/(a^2-b^2)cosaxsinbx +b/(a^2-b^2)sinaxcosbx 가 나오네요