원순열 ~~
원순열 경우의수를셀때
한점을고정해놓고 한다는게잘이해가안가네요
한점을고정함으로써 나머지자리가구분이간다는데
그게잘이해가안되요
그래서 .. 저는 이렇게생각하는게이해가되서 이렇게했는데 생각해보니 위에꺼랑똑같은거같기도한데,,
문제를잘못풀겠네요;;
저는
원탁에 4개의숫자카드를 일단 배열하면 4! 인데
그각각의경우모두를 1이란숫자를 정북쪽에 오게 다돌려노면
나머지3자리에서 똑같은것이생길거고 결국 다른것의갯수는 3!이다 이다.
이게 제가이해한 최후의방법인데,,,
이렇게하고 문제를풀어봣는데 오늘, 정팔면체 에서 서로다른8가지색칠하는갯수구하는걸
못풀겠는데 ㅠㅠ
저방식대로의설명과, 고정시킨다는의미를좀이해시켜주세요
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고정을 사람들이 어렵게들 말하는데 님께서 하시는대로 생각하는게 가장 쉬운 이해방법입니다.
여러가지 숫자들을(색깔이든 뭐든) 원탁에 배열할때 한가지 숫자를 기준으로 잡습니다.
그숫자를 원탁의 정북쪽에 놓고 원탁은 항상 고정시킵니다. 이때 나머지 자리들만 배열이 가능하고 그 배열 가능한 가지수는 한개 뺀거의 팩토리얼이다.
이때 사람들이 가장 많이 하는 질문 두개에대한 답변~
1. 왜 하필 아무런 한가지 숫자를 고정시키죠?
-- 원탁은 어떻게 돌려도 대칭적이므로 어쨌뜬 어떤 숫자든 원탁의 어느곳엔가 반드시 위치하게 됩니다. 이때 경우수를 세기위한 기준을 잡기위해 한가지 숫자를 기준으로 보자는 겁니다.
2. 그럼 원탁의 정북쪽에 고정시킨다고 하는 그 기준이 되는 숫자 자체도 여러개가 가능한거자나요? 원탁에 배열할 여러가지 숫자들중에 한개를 뽑기만 하면 되는거니까.. 그럼 한개뺀거의 팩토리얼 곱하기 원래 숫자 엔을 해야되는거 아니에요? ㅡㅡ
---- 이게 바로 사람들이 가장 많이 하는 질문인데요... .. 이건 경우수를 셀때 '기준을 잡는다' 라는 걸 잘 이해하지 못한 결과입니다
경우수는 '빠짐없이' 그리고 '중복없이' 세는것이 관건이죠, 그렇기 때문에 기준이 필요한 겁니다. 어떠한 경우의수도 이 기준으로 봤을때 하나의 카테고리에 속하게 되고 다른 어떤 경우와도
중복되지 않는다는걸 확실히 하고 싶은거죠
원탁에 숫자들을 배열한다고 합시다.( 1에서 10까지)
가능한 모든 경우들에 대해 1이란 숫자는 반드시 원탁의 어느곳엔가 위치하게 됩니다. 맞나요?
이때 모든 경우의 수들을 빠짐없이 중복없이 세기위해 그 모든 경우의 수들을 1을 기준으로 분류해보자는 겁니다.
배열가능한 어떤 경우라도 반드시 1이라는 숫자가 원탁의 어디엔가 있고(빠짐이 없게되죠? 모든 경우의 수들이 이 기준안에 속하게 되니까)
1이라는 숫자를 정북쪽에 고정해논 채로 (즉 원판이 고정된채로) 나머지 숫자들을 배열하게 되니까 중복은 있을수 없겠죠?
그럼 빠짐과 중복없이 가능한 모든 경우들이 카운팅 됩니다. 경우의수는 당연히 한개뺀거의 팩토리얼이 되죠
정북쪽의 1이라는 숫자를 다른수로 바꿔서 셀수도 있는거 아니냐고요? 안됩니다.
기준이 바뀌면 반드시 중복이 생기게 됩니다,
1을 정북쪽으로 놓고 셌을때 가령 2라는 숫자도 그 원탁의 어디엔가 위치하게 됩니다,
반대로 2를 정북쪽으로 놓고 셋을때도 1이라는 숫자가 그 원탁의 어디엔가 위치하게 되죠
결과적으로 동일한 원탁에서의 배열이 이 두가지 기준으로 봤을때 서로 달라보일수도 있습니다.(1을 정북으로 놧냐 2를 정북으로 놧냐에 따라서)
하지만 사실 같은 배열이죠~ 단지 우리가 그걸 돌려서 보다보니까 이런문제가 발생하는거고
그러니까 기준은 경우의수를 세는동안 절대 바뀌면 안된다는 겁니다. 즉 어떤 수를 정북으로 놀거냐는 상관이 없되
일단 정해진 그수는 경우수를 세는동안은 바꿔서는 안된다는 것이죠 기준을 잡기 애매한 정원형태의 원탁에서 굳이 우리가 정북쪽에 놓는 숫자를 기준으로 분류한것이기 때문에....
이만하면 설명이 됬으려나요 아니면 쓸데 없이 길어진건지는 모르겠네요ㅜㅜ