(급해요)(엑박수정) 수열의극한 O,X문제 하나만 풀어주세요!!

잉 왜엑박이져 ㅜㅜ

고등학교 문제인가요? 1번은 참이기는 하지만, 그 원리가 고교과정이 아닙니다.

그 내용 자체도 보통 대학교 미적분학에서 소위 '비교판정법'이라는 이름으로 처음 소개되는 내용이며,

그 원리는 해석학에서 실수(real numbers)를 어떻게 정의하는지를 알아야 증명할 수 있는 내용이지요.

(사실 사칙연산 + 대소관계와 비교판정법, 이렇게 세 가지 성질은 실수를 정의하는 성질 - 완비순서체 공리 - 과 동치입니다.)

그러니 1번은 그냥 참으로 받아들이시는게 좋습니다.


하지만 적어도 직관적인 이해는 가능합니다. 부분합 s_n = a_1 + ... + a_n 를 고려합시다. M = ∑ b_n 이라고 하면,

0 ≤ s_1 ≤ s_2 ≤ ... ≤ s_n ≤ M

이 성립합니다. 따라서 s_n 은 계속 증가하는 동시에 그 증가할 수 있는 한계가 정해져 있지요. 그러므로 s_n 은 그 자신이 한계까지 다다를 수 있는 어떤 한계값에 계속 가까워질 것이고, 그 한계값이 s_n 의 수렴값이 됩니다.




2번은 소위 '조건수렴'이라는 현상때문에 발생하는 현상입니다. 만약 a_n, b_n ≥ 0 이라면 주어진 명제는 참입니다.

그렇게 되면 ∑ a_n 과 ∑ b_n 의 수렴성은 순수하게 a_n 이 빠르게 감소함으로써 성립되기 때문에, a_n b_n 역시 수렴성을 얻을 정도로 빠르게 감소하게 됩니다.

그러나 부호가 첨가된다면, a_n 이 아무리 느리거 감소해도 부호에 의한 상쇄 효과를 통해 ∑ a_n 이 수렴할 여지가 생깁니다.

따라서 ∑ a_n 과 ∑ b_n 은 부호 선택의 덕으로 수렴하게 만들면서, a_n b_n 에서 그 부호 선택에 의한 이득을 제거할 수 있다면 반례를 만들 여지가 생기지요.


실제로

a_n = b_n = (-1)ⁿ/√n

은 반례가 됩니다.

우와..... 진짜 감사합니다! 큰 도움이 되었습니다!!!

으악 쓰고 틀린 거 바로 보이넹 ㅜㅜ

2번 참아닌가요? a_n=lrl<1 , b_n=lsl<1 이라고 햇을때 a_n곱하기b_n=lrsl<1 이되서 결국 수렴하지않나요?

세상에 무한급수가 무한등비급수만 있는 건 아니죠 -ㅅ-