이 확률 문제의 풀이를 공모합니다.
여러분이 공정한 동전을 하나 갖고 있습니다.
동전의 앞면을 H, 뒷면을 T라고 합니다.
동전을 반복해서 던지면서 나온 면을 차례대로 기록해나갑니다.
(1) 기록의 마지막 네 글자가 THTH 가 되는 순간 던지기를 중단한다고 할 때, 평균적으로 몇 번째에 던지기가 중단되겠는가?
(2) 기록의 마지막 네 글자가 HTHH 가 되는 순간 던지기를 중단한다고 할 때, 평균적으로 몇 번째에 던지기가 중단되겠는가?
(3) 무한히 기록을 해 나갈 때, THTH 가 HTHH 보다 먼저 나올 확률은 얼마인가?
위의 세 문제의 답을 구하고 보면, 일종의 역설을 얻게 됩니다. 저명한 퍼즐리스트 마틴 가드너가 낸 문제라고 하네요.
제가 궁금한 것은, 이 문제를 고등학교 수준에서 풀 수 있는가 하는 점입니다. 만약 힘들다면, 최소한 다음 변형된 문제
(3') 무한히 기록을 해 나갈 때, THTH 가 HTHH 보다 먼저 나올 확률과 나중에 나올 확률 중 어떤 것이 더 큰가? 혹은 두 확률이 같은가?
에 답을 할 수 있을까요?
(물론 저는 답도 풀이도 알고 있습니다만, 고등학교 수준을 벗어난 풀이라서... 한마디로 '초등적인 풀이'가 가능하겠냐는 것입니다.)
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
이제 상병(진)
-
일단 울트라가 좋아보이니 울트라로 사전예악은 했는데..
-
백분위 기준 국어 88 수학 89 영어 1 생윤 99 사문 92 국어 2개 / 수학...
-
오르비에 최초합 하신 분들 중에 빠지는 사람 있음? 제발
-
그래야만 함..
-
국어의 본질 38
은 뭘까
-
뭐가 문젠건데 대체
-
닉이랑 프사 다 고려해서 뭐가 더 예쁜가요?
-
이왜진
-
진학사에서 계속 점공 1등이라 혹시 과 수석인가.. 라고 생각했는데 ㅋㅋㅋ 올라온...
-
니게tv 3개월됐습니다
-
재수 때 나한테 맞는 수학 쌤 어렵게 찾았음 근데 이 쌤이 메가임 알바비로...
-
민트 이쁘지 않나여? 실물 보니 민트보단 약간 라임색 가틈 ㅎ
-
존나웃김 독서실에서 입막고 혼자 존나 흐느낌
-
한달에 1.6씩 올리기 프로젝트
-
무료하네 4
아.
-
무휴학군필 수험생이라 일반취업은 많이 불리한데ㅠㅡㅠ
-
배에서의 나는 그날로 죽는다 이젠 정말 D - 10 안쪽인데 동기들이 날...
-
ㅡ
-
400까지 채우려고 맞팔9
-
어디 가는게 좋지 12
고대 어문 최초합 했는데 유니스트 지스트 되면 그냥 과기원 가는게 낫나.. 중대...
-
슬슬 공부하려고 하는데 수학 개념 강의부터 다시 듣나요 아니면 뭐부터 해야하나여
-
부모님 드릴건데 특별한 기념일 같은 건 아니라 금액은 좀 가볍게.. .ㅎㅎ 요즘...
-
아무나.
-
https://youtu.be/XHr7vaHJvq4?feature=shared
-
자취방알아보고있었는데붙음 정병연장임 울겟음..
-
-
처분 당했네요 감사합니다
-
고대 식자경 경영 자전 빵 찾고 나 고전전 4칸이였는데 계속 된다하고 신소재...
-
멜 이거 재밌네 0
지금 꿀 빨아둬야됨 곧 너프 ㅈㄴ 쳐먹고 혜지챔될거임
-
지하철역 공공 무료 자전거 대여zone에서 자전거 대여햇음 근데 열쇠를 잃어버림.....
-
고경 합격 인증 12
감사합니다
-
롤방송은 롤 안한지 오래돼도 걍 뇌빼고 보면 재미있는데 롤체는 걍 오래 안하고 시즌...
-
진리에 순종하라 8
서강학파 캬
-
의대 논술 반수 0
이번에 논술로 약대 붙었는데 의대 목표로 논술 반수하는 거 ㅇㄸ? 의대 논술은 에반가?
-
작년 19명 뽑는데 추합 25명 올해 난 13명뽑는데 예비 7번임 ㄱㄴ하냐
-
실력 ㅈㄴ 떨어짐? 9모 98 작수 95 인데 지금 수학 공부 안 한지 2달 정도됨...
-
이번에 고려대 2
이과 일반 658.07이면 어디 정도 되나요?
-
의치약수 : 메디컬 한 : 메지컬
-
탈릅 3
다들 모든 일이 잘 되시길 바라요
-
베르테르 1번 18
왜 답 30나오냐..
-
돈잔뜩벌어서 맨날 삼겹살먹을거야
-
단국대학교 천안캠퍼스 율곡기념도서관 100% 활용하기 0
대학커뮤니티 노크에서 선발한 단국대 선배가 오르비에 있는 예비 단국대학생, 단국대...
-
저 비싼년이에요
-
있나요..
-
지1, 지2 해요
-
곧 탈릅하겠습니다 예측 성공하신 냅다 핸드폰 끄기 님께는 2만덕 보내드리겠습니다 다들 건승하십쇼
-
나는 에피는 개찐따공부만하는사람일거같고 센츄는 공부잘하는반인싸이미지같음
-
노을 이쁘다 1
-
뭐지 ㅋㅋ 1
오르비에 귀신이 살고 잇네
THTH 가 발생하는 회차의 기댓값은 20 일 듯 하고,
HTHH 가 발생하는 회차의 기댓값은 18일 듯 한데... 계산은 직관적이라 쓰기가 좀 어렵네요.
위의 결과를 보면 HTHH 가 먼저 나올 확률이 클 듯 한데, 결과를 구해보면 오히려
THTH 가 먼저 나올 확률이 9/14 이고, HTHH 가 먼저 나올 확률이 5/14 가 되서...
THTH 가 먼저 나올 확률이 더 크군요.
풀이방법은 유향그래프와 무한등비급수를 이용했습니다.
직관적이라도 좋습니다. 모두 정답이니까요. 어떻게 계산하셨는지 설명을 부탁드려도 될까요?
적기가 어려워서 맨 위에 하나(THTH)만 간단히 적어보겠습니다.
처음 상태를
라고 합니다.
상태에서는 H 또는 T 가 나올 수 있는데, H 가 나오면 아무런 도움이 안되므로 그냥 처음 상태와 같습니다.즉,
상태에서는 각각 1/2 의 확률로상태로 남거나 상태로 이동합니다.
상태로 이동합니다.
상태에서는 1/2의 확률로 상태에서는 같은 방법으로 하면 1/2 의 확률로 상태로 남거나
상태로 되거나 상태로 됩니다.
상태에서는 1/2의 확률로 상태로 되거나 상태로 됩니다.
이제까지 결과를 이용하여 각 상태를 꼭짓점으로 유향그래프를 그릴 수 있고,
상태에서 상태가 되는 데 까지의 회수의 기댓값은 2 상태가 되는 데 까지의 회수의 기댓값은 2
상태에서 상태가 되는 데 까지의 회수의 기댓값은 6
상태에서
상태에서 상태가 되는 데 까지의 회수의 기댓값은 10
이 되어, 기댓값 20을 구한 것입니다. 각각의 기댓값은 무한등비급수 형태로 계산했고요.
오오, 상당히 재미있는 풀이네요.
우선 확률공간 {S, T, TH, THT, THTH} 와 {S, H, HT, HTH, HTHT} 각각에 대한 전이행렬 A를 구하고,
A + 2A^2 + 3A^3 + 4A^4 + ... = A(I - A)^-2
를 구해서 초기상태를 먹이니까 정말로 최초 출현 시점의 기대값이 나오네요. 그리고 확률공간 {S, T, H, TH, HT, THT, HTH, THTH, HTHH} 에 대한 전이행렬 A를 구해서
A + A^2 + A^3 + A^4 + ... = A(I - A)^-1
을 구하고 초기 상태를 먹이니까, THTH 로 끝날 확률과 HTHH 로 끝날 확률이 나오는군요.
원래 제가 아는 풀이법은 stopped martingale을 이용하는 방법이라, 확률미적분(stochastic calculus)에 대한 기본 지식이 없으면 쓰질 못했거든요...
좋은 풀이 배워갑니다.