[박수칠] 적분 기호 ∫의 이해
미통기 ‘다항함수의 적분법’과 적통 ‘적분법’으로 들어가면 ∫(integral)을 배웁니다.
이미 알고들 있다시피 부정적분과 정적분의 표현에 사용되는 기호이고,
합을 의미하는 Sum의 머릿글자 S를 변형한 것이죠.
∫>
부정적분의 ∫은 도함수의 기호 d/dx와 정반대의 의미를 갖습니다.
dx와 짝을 이뤄서 ∫ dx의 형태로 사용되구요.
함수 F(x)의 도함수가 f(x)이면
라고 쓰며, 이때 f(x)의 임의의 부정적분이 F(x)+C이므로
와 같이 씁니다.
보다시피 부정적분에서 ∫은 합이라는 본래의 뜻과 무관하게 쓰였습니다.
합이라는 의미를 갖는 것은 정적분에서죠.
∫>
정적분의 정의는 함수의 그래프와 x축 사이의 넓이를 구하는 것에서 출발합니다.
함수 y=f(x)가 닫힌 구간 [a, b]에서 연속이고, 이 구간에서 f(x)≥0일 때
함수의 그래프와 x축, x=a, x=b로 둘러싸인 도형의 넓이 S는 다음과 같이
구할 수 있습니다.
(1) x축 위의 구간 [a, b]를 n등분한 다음, 양 끝점과 각 분점의 x좌표를 왼쪽에서부터
차례로 x0(=a), x1, x2, …, xn(=b)이라고 합니다. 다음으로 각 분점을 지나면서 x축에
수직인 직선들로 도형을 자르고 이웃한 두 수선 가운데 오른쪽 수선을 높이로 하는 직사각형을
만듭니다.
(2) 이때 왼쪽에서 k번째 직사각형의 넓이와 모든 직사각형의 넓이 합은 다음과 같이
표현됩니다.
(3) 여기서 n→∞이면 구간 [a, b]에 존재하는 분점이 무수히 많아지기 때문에
각 분점의 x좌표들은 연속적으로 변하는 실수가 된다고 할 수 있습니다.
따라서 각 분점의 x좌표의 일반항 xk는 이 구간에 속하는 임의의 실수 x로 바꿀 수 있죠.
또한 직사각형의 가로 길이 는 0에 한없이 가까워지기 때문에 도함수의 기호와 같이
dx로 바뀝니다. 이때, 각 직사각형의 넓이는 다음과 같이 표현됩니다.
(4) (2)에서는 직사각형의 넓이가 k에 대한 식으로 표현되기 때문에 직사각형들의
넓이 합을 Σ로 표현할 수 있지만, (3)에서는 k가 없어졌기 때문에 Σ로 이들을
더하는 것은 불가능합니다.
따라서 직사각형의 넓이를 더하기 위해 새로운 기호가 필요한데 그것이 바로 ∫입니다.
x좌표가 x인 곳에 생긴 직사각형의 넓이 f(x)dx를 x=a일 때부터 x=b일 때까지 더하는
것은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
이처럼 Σ는 불연속적으로 변하는 직사각형의 넓이 의 합,
∫은 연속적으로 변하는 직사각형의 넓이 f(x)dx의 합을 표현합니다.
(부정적분에 ∫이 쓰인 이유는 정적분의 기본 정리에 따라 정적분의 계산에
부정적분이 필요하기 때문입니다.)
이렇게 이해하면 좌표축과 도형 사이의 넓이, 또는 도형의 부피를
정적분으로 간단하게 표현할 수 있죠.
<두 곡선 사이의 넓이>
두 함수 y=f(x), y=g(x)가 닫힌 구간 [a, b]에서 연속이고, f(x)≥g(x)일 때
두 함수의 그래프와 x축, x=a, x=b로 둘러싸인 도형의 넓이 S는 다음과 같이
구할 수 있습니다.
(1) x축 위의 구간 [a, b]를 n등분하고,
각각의 분점에서 x축에 수직인 방향으로 수선을 그어서 도형을 자릅니다.
그리고 왼쪽에서 k번째 구간 [xk-1, xk]에 직사각형을 그리구요.
이 직사각형의 가로 길이는 , 세로 길이는 f(xk)-g(xk)입니다.
(2) n→∞이면 (1)에서 만든 직사각형의 가로 길이 는 한없이 0에 가까워지면서
dx가 됩니다. 또한 구간의 오른쪽 끝 xk를 x로 바꾸면 직사각형의 높이는
f(x)-g(x)가 됩니다.
(3) 따라서 도형의 넓이 S는 다음과 같이 계산됩니다.
<단면적을 아는 입체도형의 부피>
아래 그림과 같이 점 (x, 0, 0)에서 x축에 수직인 평면으로 잘랐을 때,
단면적이 S(x)인 입체도형이 있다면, 그 부피 V는 다음과 같이 계산할 수 있습니다.
(1) x축 위의 구간 [a, b]를 n등분하고,
각각의 분점에서 x축에 수직인 평면으로 도형을 자릅니다.
그리고 왼쪽에서 k번째 구간 [xk-1, xk]에서 평면 x=xk로 잘린 단면을 밑면으로 하는
기둥을 그리구요. 이 기둥의 높이는 , 단면적은 S(xk)입니다.
(2) n→∞이면 (1)에서 만든 기둥의 높이 는 한없이 0에 가까워지면서
dx가 됩니다. 또한 구간의 오른쪽 끝 xk를 x로 바꾸면 단면적은 S(x)가 됩니다.
(3) 따라서 도형의 부피 V는 다음과 같이 계산됩니다.
그럼 예제 하나 풀어보죠.
2014학년도 수능 B형 13번 문제입니다.
(1) 먼저 부피를 구하려는 회전체를 그림으로 표현하면 다음과 같습니다.
직선 l과 쌍곡선 C의 방정식을 연립해서 풀면 교점의 좌표는 (0, 0), (3, 2)가 되구요.
(2) 회전체의 바깥면은 직선 l이 회전해서 만듭니다.
이 회전체의 부피는 다음과 같이 구할 수 있죠.
(3) 회전체의 안쪽면은 쌍곡선 C가 회전해서 만들고,
부피는 다음과 같습니다.
(4) 따라서 구하는 회전체의 부피는 (2)-(3)으로 구할 수 있죠.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
축하드립니다
-
日 새 지폐 발행...“일본 경제, 네팔에 빚졌다” 말 나오는 이유는 0
지폐 원료 ‘미쓰마타’ 수입 의존 일본에서 20년 만에 새 지폐가 발행되면서...
-
새기분 강기분 0
독학러인데 독서만 인강 들으려는데 강기분이랑 새기분 둘중 하나만 하고 우기분 해야...
-
입시판 떠서 다행이지...
-
왜 아침부터 배에 신호가 오냐고!!!
-
열품타 오류야? 0
나만 튕겨?
-
선생님들 국어 실모 바탕 이감 상상 한수 이정도로 알고있는데 원래는 이감 연간...
-
이거 택시탔는데도 지각이면 나 진짜 울거임
-
왜이러세요;; 더프가지고 뭔
-
코이츠 통장에 8만원뿐인 wwwwww 실모 우짜노...
-
택시기다리는중 ㅜㅜㅜ
-
더프 조지고올게 2
하지만 조져지는건 나였고
-
늦잠 잤다 0
-
급조해서 갖고오면 수요있을까? 일욜 월욜 투자해서 만들어볼까 고민중임 갑자기 진짜...
-
어떤 선생님이 좋은가요???
-
그저께부터 계속 팩스로 3번 발송완료 했는데 계속 안오고 잇어서… 의심되는 부분이...
-
더프 잘보고싶다 0
이번엔 410넘기고싶다
-
벌써 화장실 두번감 작수때는 아침에 화장실 4번가서 더 나올 게 없을때까지 비웠는데....
-
더프지각 5
하면 아예 못들어가여..?근데 학원에서 입실 안내 시간 문자를 하나도 안줬어요
-
핑크색 슛
-
뭐지
-
의외로정신은멀쩡
-
개념정리 하려고 수학의 단권화 구매했는데 이거 인강 없으면 이해가 힘든거...
-
시대 등원중 0
흐느적
-
2년만에 더프.. 13
-
미필5수 ㄱ?
-
응?
-
충격발언) 9
저는 여붕이
-
근데 국어는 12
한 번 잘못 읽으면 시험 끝날 때까지 잘못 읽는 듯
-
오늘 1
잘치자. 할 수 있다.
-
크포 들어가려면 필수이론 1, 4단원은 하능게 좋을까?
-
아 광도를 r^2t^4말고 핵융합으로 보면 헬륨핵수축중이라 헬륨핵융합이안일어나니까...
-
요즘 듣는 노래 3
님들도들으셈
-
6평으로 강대 본원이랑 s2 둘 다 장학되는데 님들은 장학 받을 수 있으면...
-
작년 더프 6
9덮 10덮 11덮 연속으로 설의 10등이내라서 설의 갈 줄~
-
6모망치고 7덮에서 보여주겠단 마인드로 보면 더망합니다 사설따위 ㅇㅇ
-
죽기 4
야호
-
어제 내 관리형 독서실에 더프 답지랑 시험지 다 보이게 있던데 이런식으로 유출되는거구만..
-
더프때문에 얼리버드 ㅅㅂ
-
입고갈수잇을가
-
얼벅의 1
그렇읍니다
-
미라클모닝달성 1
0618
-
좋아! 2
좋은 아침
-
ㅜㅜㅜ
-
왜 입고다니지 다시 돌아가고싶은 욕구인가
-
기차지나간다 0
부지런행
-
얼버기 0
오늘도 아자아자!!!
부정적분에 적분구간이 있을 수는 없어요 수정해주세요
본문에서 어느 곳을 얘기하시는 건가요?
거의 맨 윗부분 말씀하시는거 아니에요? 이미지로는 두번째쯤?..
이런 실수가 있는지 몰랐네요...
수정했구요, 두 분 모두 감사합니다.
ㅎㅎ 좋은글 감사드려요. 비록 전 문과지만ㅜㅜ 끝까지 이해해보려고 노력해봤네요. 감사합니다!^^
앞까지는 문이과 공통입니다. 어려운 부분 있으면 질문 주세요~ ^^
고맙습니다