수능 수학, 개념 응용과 문제풀이의 공부 방법 - 1 -

이 문제는 작년 수능 문제인데요, 이 문제를 푸는 방식을 통해

행렬 ㄱㄴㄷ 문제를 어떻게 공부해야 하는지 대략적인 설명을 해 보도록 하겠습니다.

이와 같은 행렬 문제를 보면, 우선 조건을 다 나열해보세요.

1. A2-AB=3E

2. A2B-B2A=A+B

이 두 개가 조건입니다.

우선 ㄱ 선지를 보겠습니다. A의 역행렬의 존재성을 묻는데, 이거는 1번 조건으로

쉽게 해결이 가능합니다. A의 역행렬은 (1/3)(A-B)가 되죠.

그러므로, [1번 조건을 사용]한게 되며, 2번 조건은 아직 사용하지 않았고,

ㄱ을 통해 새로운 세 번째 조건을 얻었습니다.

3. A-1=(1/3)(A-B)

이 조건을 말이죠. 이제 ㄴ 선지를 보도록 하겠습니다. AB=BA인데요, 이는 1번 조건과 3번 조건을 통해

쉽게 해결할 수 있습니다. 행렬과 역행렬 사이에는 곱셈의 교환법칙이 성립하죠.

그렇기 때문에 A(A-B)=(A-B)A가 성립하며, 이로부터 AB=BA를 이끌어낼 수 있습니다.

이제 새로운 조건을 또 하나 얻었네요.

4. AB=BA

이제 ㄷ 선지가 남았고, 아직 사용하지 않은 조건은 2번 조건과 4번 조건입니다.

여기서 문제풀이의 방향을 잡는 것이 중요한데,

'가장 이상적인 것'은 그냥 선지를 보고 이건 참이겠다, 이건 거짓이겠다 감을 잡고

그대로 풀어나가는 것입니다. 하지만 그렇게 이상적으로 되지 않기 때문에 훈련을 하는 것이죠.

그러므로, 저렇게 (A+2B)2=24E이다. 와 같이 무언가 식 변형을 통해 이것을 이끌어낼 수 있다!

하는 오오라를 풍기는 녀석을 만나면, 우선 식 변형을 통해 참임을 증명하겠다! 와 같은 접근을 먼저 해보는 것이 좋다고 생각합니다.

아까 위에서 설명드렸을 때,

증명 방법에는 식 변형을 통해 명제를 이끌어낸다, 반례를 든다, 귀류법을 사용하여 모순임을 보인다, 식 변형을 통해 명제와 다른 결론을 이끌어낸다. 이렇게 있다고 했는데,

위의 ㄷ 선지는 반례를 들기는 좀 애매하고.. (저 조건을 다 만족시키는 행렬 찾다가 시간 다 갈겁니다.)

귀류법을 사용하기에도 애매합니다.

결국은 식 변형을 통해 (A+2B)2 가 어떤 값으로 나오는지 알아내야 한다는 것입니다.

우선 A+2B와 관련된 식을 이끌어내야 하는데..

아직 2번 조건을 사용하지 않았죠? 그러므로 일단 2번 조건을 건드려봐야겠다!

라는 생각을 해야 합니다.

뭔가 인수분해가 가능한 꼴로 생겼는데,

새로 알게 된 4번 조건, AB=BA라는 것으로 인해

2번째 조건은 다음과 같이 변형이 가능합니다.

AB(A-B)=A+B

음.. 그런데 여기서 어떻게 ㄷ 선지를 이끌어내지? 하고 고민이 되는데,

이게 잘 안되면 다른 조건들을 살펴봅시다.

1번 조건과 3번, 4번 조건이 있는데, 여기서 4번 조건으로는 뭔가 할 수 없을 것 같고..

1번 조건에서 식을 잘 변형하면 A(A-B)=(A-B)A=3E!! 오호! 뭔가 아까 변형시킨

AB(A-B)=A+B의 양 변에 A를 곱하고 싶어집니다!

그래서 A를 곱하면,

3AB=(A+B)A가 되고, 이는 3AB=A2+AB (4번 조건 AB=BA 활용)

A2=2AB가 된다는 사실을 알아야 합니다.

이제 여기서 새로운 것을 이끌어내고 싶은데..

1번 조건 변형식을 보면 A(A-B)=3E,

2번 조건 변형식을 보면 AB(A-B)=A+B이죠.

어? 1번 조건에서 양 변에 B를 곱하면 뭔가 있을 것 같다! 라는 느낌을 얻어야 합니다.

(이런 느낌이 얻어지는게 쉬운 일이 아닙니다. 하지만, 이것을 많은 노력을 통해 해내야 합니다.

이 과정은 누가 특별한 약을 줘서 한 번에 해결되는 것이 아니라,

많은 시간을 투자해야 하는 부분이므로 그냥 칼럼이나 공부법 책같은거만 읽고

적은 노력만으로 가능한 해법을 찾으려 하지 마세요.

그냥 묵묵히 노력하는게 답입니다.)

그렇게 변형을 하면, 4번 조건 AB=BA라는 점에 의해

1번 식은 AB(A-B)=3B로 되고, 이것을 통해 3B=A+B,

A=2B를 얻어낼 수 있습니다!

그러면, ㄷ의 (A+2B)2 는 사실 (2A)2 였던 것입니다.

결국 4A2 가 몇인지만 알아내면 되는 문제로 변했습니다.

그런데, 아까 얻은 것중에 A2=2AB가 있었죠?

이를 1번 조건에 대입해보면, AB=3E가 나오게 되고,

4A2=8AB=24E라는 결론이 나오게 됩니다.

따라서, ㄷ 선지도 참임을 알게 되는 것이죠.

뭐.. 뒷북 수학이나 다름없는 풀이를 보여드렸는데,

요지는 행렬 ㄱㄴㄷ 문제를 풀며 공부를 할 때,

위와 같은 생각을 하면서 체계적으로 접근하는 공부를 해야 한다는 것입니다.

물론, 이것보다 본인에게 더 잘 맞는 공부법이 있을 수도 있고,

행렬 합답형 문제정도는 이미 마스터해버려서 이런 공부법이 필요 없을 수도 있습니다.

그러므로, 이 글은 그냥 참고용으로만 봐주셨으면 하는 바람입니다.

요약

1. 문제에 주어진 조건들을 다 체크한다.

2. ㄱ, ㄴ, ㄷ 순서대로 문제를 해결한다.

3. 문제가 잘 풀리지 않으면, 사용하지 않은 조건들이 있는지 체크한다.

4. 특히 ㄷ 선지의 경우, 식 변형을 통해 접근할 것인지,

귀류법을 활용할 것인지, 반례를 찾기 위한 시도를 할 것인지 잘 선택해야 한다.

(이런 감을 잡는 것은 말로 해결되는 것이 아니라, 수많은 노력을 통해서만 가능하다.)

5. 수식 변형을 자유자재로 할 수 있도록 연습을 해야 한다.

이렇게 되겠습니다. 그러면 이만 글 마치도록 하겠습니다.