미적분 28번 대칭성 풀이의 문제점
이 글의 내용은 아래 글에서 영감을 받아 시각화를 진행해보았습니다.
https://gall.dcinside.com/mgallery/board/view/?id=physics2&no=510039&s_type=search_subject_memo&s_keyword=28.EB.B2.88&page=1
제가 영감을 받은 글의 요지는 {f(x)+1}^2 = {f(2-x)+1)^2을 해석했을 때 결과로
f(x)=f(2-x)와 f(x)+f(2-x)=-2가 나오는데, 이 중 f(0)과 f(2)가 같지 않으니 바로 첫번째 식을 부정하고 두번째 식만을 이용하여 f(x)가 점대칭이라 추론하는 것은 오류가 있다는 것입니다.
예를 들어, 다음과 같은 그래프가 가능합니다.
빨간색으로 표시한 구간 내에서는 f(x)=f(2-x)이고, 검은 색 구간에서는 f(x)+f(2-x)=-2로 위의 조건에 완벽히 들어맞습니다. 그런데, 이 경우에는 아까처럼 f(1)=-1로 단정지을 수 없습니다.
제가 생각한 올바른 풀이는 아래와 같습니다.
혹시 이 글에도 오류가 있다면 부디 지적해주십시오.
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자세히 읽어보진 않았는데, 방향은 맞는거 같습니다. 앞부분 논리 전개를 굳이 f(x)= 꼴로 정리하지 않고, 사잇값 정리를 이용해서 경제적으로 진행할 수 있습니다.
좋은 지적 감사합니다. 확실히 그 편이 낫겠네요.
헐 그냥
직선대칭 선대칭으로 식하나 작성해서 풀었는데 난 찍은거였구나
y=x^2 + 2x 와 y=f(x)의 합성으로 볼 때 f^2+2f 가 f(x)=-1인 점의x좌표를 c라고 할때 연속이니까 (0,2)에서 c가 존재하는 것을 알수 있고 우변이 x=c 대칭이고 이 점에서의 함숫값이 -1이 되고 우변을 분석해보면
cos^3파이x와 sin^2파이x의 그래프를 그리면 전자는 x=n(n은정수)선대칭이며 ((2n-1)/2,0)점대칭이고
후자는 x=n/2(n은 정수)선대칭이여서 e^sin^파이x도 똑같이 선대칭이되고 둘을 곱하면 x=n(n은 정수)에서만 선대칭이 되는걸 알 수 있는데 (x=1/2, 3/2, 5/2 ..... 에서는 점대칭) 열린구간(0,2)에서 선대칭이 될수 있는건 x=1밖에 없고 이게 c일 수 밖에 없다는 결론을 내렸는데 이렇게 푸는건 오류가 있나요??
왼쪽 합성함수는 f(x)=-1일때 최솟값 가지고
오른쪽 미분해보면 x가 정수일때만 극값을 가짐
사잇값 정리에 의해 0~2 사이에서 f(x)=-1이 하나이상은 있어야하는데 X가 정수일때만 극값을 가질수가 있으니 따라서 f(1)=-1
이건 어때요?