'모든'의 논리적 오류 | 6평 미적 28번
※ 6월 10일, 글 내용을 좀 더 상세하게 영상으로 풀어서 올렸습니다.
0
독해와 논리를 가르치는 이해황입니다.
이번 미적 28번 논란이 흥미로워서 짧게 글을 써봅니다.
1
2024학년도 6월 모의평가 수학 28번(미적분)
실수 전체의 집합에서 연속인 함수 f(x)에 대하여
{f(x)}²+2f(x)+1이 x=1에 대칭이라면,
{f(x)}²+2f(x)+1 = {f(x)+1}²이므로
{f(x)+1}² = {f(2-x)+1}²이 성립합니다.
따라서 "모든 x에 대하여 f(x)=f(2-x) or f(2-x)=-2-f(x)"라고 할 수 있습니다.
그런데 이로부터 "모든 x에 대하여 f(x)=f(2-x) or 모든 x에 대하여 f(2-x)=-2-f(x)"라고 할 수는 없습니다.
2
"모든 사람은 남성이거나 여성이다."가 참일지라도
"모든 사람은 남성이거나 모든 사람은 여성이다."가 도출되지는 않습니다.
왜 그런지 바로 이해가 되는 분들도 있겠지만, 그렇지 못한 분들을 위하여
사람이 p, q 둘만 있는 가능세계1)를 살펴보겠습니다.
각주 1) 가능세계는 2019학년도 수능 국어영역에도 나왔고 PSAT/LEET에 모두 나온 적 있는 중요 논리학 개념입니다. 만약 이 개념을 잘 모른다면 가장 쉽게 이해하는 '가능세계' [두뇌보완계획100] 3분짜리 영상을 참고해주세요.
이때 가능한 세계는 아래 표와 같이 4가지입니다.
"모든 사람은 남성이거나 여성이다."는 w1, w2, w3, w4 모두에서 참입니다.
반면 "모든 사람은 남성이거나 모든 사람은 여성이다."은 w1(모든 사람이 남자)와 w4(모든 사람은 여자)일 때만 참이며 w2, w3일 때는 거짓입니다.
정리하자면, "모든 사람은 남성이거나 모든 사람은 여성이다."가 참이면
"모든 사람은 남성이거나 여성이다."는 참이지만, 그 역은 성립하지 않습니다.
3
논리학자들은 '모든'을 ∀으로, or(이거나)는 ∨으로 나타냅니다. ∀는 all을 뒤집은 것이고, ∨는 or를 뜻하는 라틴어 vel에서 가져온 것입니다. 참고로 and(이고)는 ∨를 뒤집은 ∧으로 나타냅니다.
지금까지의 논의를 기호를 활용하여 간결하게 나타내면 다음과 같습니다.
∀x(Ax∨Bx) ≢ ∀x(Ax)∨∀x(Bx)
구체적으로는 ∀x(Ax∨Bx) ↛ ∀x(Ax)∨∀x(Bx), ∀x(Ax∨Bx) ← ∀x(Ax)∨∀x(Bx)로 분리하여 생각할 수 있습니다.
4
2019학년도 LEET 추리논증에 이러한 변별을 묻는 문제가 나온 적 있습니다. 지금까지의 논의를 잘 따라왔다면, 아래 고난도 문제를 단박에 풀 수 있습니다. 핵심은 ㄷ입니다.
논리훈련이 되어 있지 않은 분들은 ㄷ을 적절하다고 판단합니다. 그런데 ∀x(Ax∨Bx) ↛ ∀x(Ax)∨∀x(Bx)이므로 ㄷ은 적절하지 않습니다. 즉, "모든 환자에게서 병원균 α와 β 중 적어도 하나가 검출된다"가 참이라고 해도, "모든 환자에게서 병원균 α가 검출되거나 모든 환자에게서 병원균 β가 검출된다"가 참이라고 할 수 없습니다. (참고로 정답은 ② ㄴ입니다.)
5
지적 호기심이 있는 분들을 위하여 양화사 분배에 대한 몇 가지 성질을 적어두겠습니다. 2에서 제가 표를 그린 것처럼 가능세계를 중복없이 누락없이 떠올려보면 충분히 혼자 이해할 수 있을 겁니다.
①∃x(Ax∨Bx)≡∃x(Ax)∨∃x(Bx)
②∀x(Ax∧Bx)≡∀x(Ax)∧∀x(Bx)
③∃x(Ax∧Bx)≢∃x(Ax)∧∃x(Bx)
④∀x(Ax∨Bx)≢∀x(Ax)∨∀x(Bx)
이때 ∃는 "어떤 ~가 있다"는 뜻으로, there exists에서 가져온 기호입니다.
참고한 자료
1. 2024대비 6월 모평 미적분 28번 대칭성 풀이의 논리적 오류에 대하여
2. 논리개념 매뉴얼5.0(이해황, 2023) (2의 설명은 이 책에서 가져옴)
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
한줄 요약: 터지다. 1. 국어: 15,16,17,24,34 틀 88점 언매...
-
대표적인곳이 연세대, 경희대로 알고 있는데 과탐 가산점 있으면 미적사탐으로도...
-
답이 4번 이라는데 제가 보기엔 ㄱ이 틀린 선지고 ㄴ이 맞는 선지인 것 같아서요 풀이 부탁드립니다
-
떡밥뿌리기
-
ㅈㄱㄴ
-
9평때 사탐런 많으려나 15
오늘 학원에서 얘기들어보니까 6평끝나고 바꾼애들 꽤 잇다던데 다들 화학 생명쪽을 버리는건가
-
내일 한번 풀어볼까
-
ㅇㅈ 5
뭔하 해보곤 싶은데 내가 ㅇㅈ 해도 궁금해할 인간이 있긴할까 뭔가 진짜 개같은...
-
기하러 후배 7
는 사실 216학파였구요 경제 선택을 고려하고 있다는데 기하러들은 변태들이 많나..?
-
문과는 통합 2퍼여도 계열기준 0.3,0.5퍼 찍히던데 이과는 계열기준누백이...
-
담주부터 바로 국어 실모 풀고싶은데 어디서 사야하나요? 0
대부분 다 다음주까지 안오고 예약이던데…
-
더프 끝나고 책상에 국어95 크게 적혀있길래 내가 ㅈ된줄..
-
언매선택 작수 원점수 91 백분위 99 3더프 원점수 88 무보정 백분위 91...
-
ㅇㅈ 15
가죽 덥노..
-
독서 내신대비 2
독서는 내신대비 어떻게 해야하나요? 기출 풀면 될까요?
-
수학만 7시간 정도하는데 할수록 실력 느는게 느껴지는 것 같음 진지하게 이대로만...
-
6평을 너무 과하게 조지고 7더프도 잘 본 편은 아니라 심란하긴 했는데 6평 끝나고...
-
하원 0
ㅅㅅ 학원진짜 넘 에어컨 빵빵하게 트는데는 첨임
-
저랑 맞팔할 분 더 구해요! 안끊고 계속 유지하실분
-
욕구가 사라졌다 4
이렇게 현자가 되는건가 한 달 안 봄
-
틀딱어휘 대방출 17
10-가 / 10-나 언어 수리 외국어 탐구 4 과목 수1 수2 적통 기벡 미통기...
-
저도 맞팔좀 6
은테를 향한 빌드업
-
시발점 수1 수2 워크북까지 총 4권에 55000원에 구매하려하는데 어떻게생각하세용?
-
6모 62점 4떠서 기분 안좋았는데 7덮 71점 나왔어요
-
응애
-
체감난도 투표 언매기준 최상이 78퍼... 실제컷 91나온 5덮이 최상 29퍼던데
-
진짜진짜임.
-
안양시의회 국민의힘 소속 의원들이 한 식당 술자리에서 난동을 부린 사건과 관련,...
-
작년에도 이정도였나요 12개 늘은게 영향이 큰편인가
-
근데 생윤 진짜 기초적 개념도 안잡힌 경우가 많구나 7
질문 단톡에 들어와 있는데 기초적인 기출문제도 언어적으로 선지를 이해하지 못하는 경우도 많네
-
sm도 좀 좋은듯? 10
ㅇㅇ
-
어떻게 사람이름이 박응식 ㅋㅋㅋㅋ
-
어떤 순간에도 너를 찾을 수 있게 반대가 끌리는 천만번째 이유를 내일의 우리는 알 지도몰라
-
둘 다 본질은 같은 것 같은데 뭘 할까요 해보신사람 후기좀요!!
-
주제 추천받아요 강평처럼 이상한 것일수록 잘 받아드림
-
물론 그 수술을 고려하고 있는 당사자는 내가 아니다..
-
살아나 제발
-
개념 인강 1
반수 진행 중인데 작수 생명 43점(2) 작수 지구 4등급 개념 복습해야 할 거...
-
국어 현강 질문 3
국어 등급이 1-4까지 널뛰기하는 현역이인데 .. 3월부터 ㄱㅇㅇ 선생님 라이브로...
-
Tes가 1판이라도 이길 수 있을지 의문이네 미드 루시안 또 나오면 ㄹㅇ 재밌긴할듯
-
국어 김동욱 고전시가 6강 수학 KICK 수1 2단원 챕터2 단원마무리 KICK...
-
음
-
지1 개념 7
지1 노베 내신용 개념 강의 추천해주세요! 시간 많이 없어서 강의수 적으면 좋갰는데...
-
?
-
재수는 성공이다 기왕이면
-
맞팔구 5
민초 먹으라고 강요 안합니다 하지만 민초는 마시써요
-
와 맥주 미지근해지니까 14
개맛없네
-
아마 수능에 나오면 21번...?
-
어려운 3점 ~ 쉬운 4점 정도인가요??
-
금연 기록중 7
D+ 7043
수학까지 잘하시는 국어 강사님...ㄷ
해설강의 찍고 편집할 때면 이 세상 다른 모든 것들이 흥미로워져서 큰일이에요 ㅎㅎ
제가 공부할때와 같은 모습이시군요..
x가 하기 싫을 때는
x보다 더 하기 싫은 것을 찾으면 좋더라고요. ㅋ
오 ㅋㅋ 써먹어 보겠습니다
그저 GOAT...
고맙습니다. :)
와 설명 진짜 잘하시네요. 이해가 쉽게 되네요
고맙습니다. PSAT/LEET 수험생들에게 하도 질문을 많이 받다보니, 자연스럽게 설명이 진화(?)했습니다. ㅋ
비트겐슈타인의 논리철학논고를 통해서 1차 술어논리에 대해 혼자 공부할 때가 떠오르는 글이네요. 잘 읽고 갑니당
재미있게 읽어주셔서 고맙습니다. :)
논고를 통해서 1차술어논리요?
대단하시네…
어찌보면 당연히 여자와 남자가 동시에 존재할수있다는 생각이 드는데 이걸 수학으로 !
집합과 명제를 좀 현란하게 확장해서 수능/PSAT/LEET를 가르치고 있습니다. ㅋ
쉽게 말하면 모든 사람이 남자이거나 여자일수 있다에서 "모든 사람은 남자" or "모든 사람은 여자"가 도출되진 않는다
네, 그리고 "한 명 뽑아봤더니 남자라고, '모든 사람은 남자'라고 단정해서도 안 된다. " 정도를 추가할 수 있습니다.
요새 수학강사는 국어도 잘하네
오르비 신규 수학 강사 이해황입니다. 잘 부탁드립니다.
10대 때 로즈마리 수열을 투고한 적 있습니다.
https://oeis.org/A026644/a026644.html