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오펜하이머 [842824] · MS 2018 · 쪽지

2023-08-22 19:07:25
조회수 6,583

[물리 칼럼] 용수철 문제를 평균 힘으로만 풀어보자

게시글 주소: https://susiapply.orbi.kr/00064156444

다음 문제를 눈으로 풀 수 있으면 이 칼럼은 안 읽으셔도 됩니다. 


Q. 다음과 같이 질량 m, 2m인 물체 A, B가 각각 용수철 상수 k인 용수철에 연결되어 d만큼 압축되어 있다. B는 평형 상태이며 A의 초기 속도는 0이고 A, B 사이의 높이 차는 x이다. A를 잡고 있던 손을 놓으면 A는 용수철과 분리되어 낙하한 후 B와 충돌하여 함께 움직인다. B의 속도가 다시 0이 될 때까지 내려간 거리가 2d일 때 x는 d의 몇 배인지 구하시오. 

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위의 문제를 쉽게 다루기 위해서는 평균 힘을 이용하는 방법을 알아야 합니다. 


쉬운 예시부터 생각해봅시다. 


예제 1번. 다음과 같이 용수철 상수가 k인 용수철에 물체가 매달려 x만큼 압축되어 있다. 물체를 가만히 놓은 후 물체가 (가) ~ (다)에 위치할 때 운동에너지를 구하시오. 

텍스트, 도표, 라인, 폰트이(가) 표시된 사진<br /> <br /> 자동 생성된 설명

풀이 1. 역학적 에너지 보존


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풀이 2. 그래프


라인, 도표, 그래프이(가) 표시된 사진<br /> <br /> 자동 생성된 설명

물체가 받는 알짜 힘은 용수철에 의한 탄성력 -kx이므로 위 그래프에서 밑넓이가 (알짜힘이 한 일)이 되고 (운동에너지 변화량)과 같습니다. 


풀이 3. 평균 힘이 한 일


힘-변위 그래프가 직선일 때 (밑넓이) = (평균 힘) X (변위) 입니다. (가)~(다)에서 평균 힘과 변위는 위와 같습니다. 












예제 2. 다음과 같이 용수철을 x만큼 압축한 상태에서 물체가 고정되어 있다. 물체에 일정한 힘 F가 작용할 때 물체를 놓으면 2x만큼 늘어난 위치에서 정지한다. 이 때, F를 구하시오. 


도표, 폰트, 라인, 번호이(가) 표시된 사진<br /> <br /> 자동 생성된 설명


풀이 1. 평형 위치를 이용


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풀이 2. 그래프

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풀이 3. 평균 힘


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[본 문제 해설]


A를 놓은 후 용수철에서 분리되어 B에 충돌하기 직전의 운동에너지를 E라고 해봅시다. 

E는 A에 작용하는 (탄성력이 한 일)과 (중력이 한 일)의 합이므로 다음과 같습니다. 

텍스트, 도표, 폰트, 라인이(가) 표시된 사진<br /> <br /> 자동 생성된 설명


이제 A, B가 충돌한 직후 운동에너지를 구합시다. 충돌 전후에 운동량은 보존되고, 질량은 m에서 3m으로 3배 증가합니다. 따라서 운동에너지는 다음과 같습니다. 

텍스트, 도표, 폰트, 라인이(가) 표시된 사진<br /> <br /> 자동 생성된 설명


마지막으로 A와 B가 정지할 때까지를 살펴보면 다음 식이 성립합니다. 


(운동에너지 변화량) = (탄성력이 한 일) + (중력이 한 일)


2d만큼 압축된 용수철의 탄성력은 6mg이므로 다음과 같이 E를 구할 수 있습니다.


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이제 E의 값을 위의 식에 대입하면 x=5d를 얻습니다. 


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결론: 에너지 보존 대신 평균 힘이 한 일의 양을 구해서 계산하는 것이 유리한 상황이 있다. 특히 두 물체가 충돌하면서 평형점의 위치가 바뀌는 경우에 유용하니 잘 써먹어 보자. 







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