2024학년도 9월 수학 관련 생각

#2 극한이 수렴하는지를 조사하라고 했으면 f(x)의 x=1에서의 극한값과 1이 일치하는지를 생각해봤어야 하는데, 그냥 수렴하는 값을 구하라고 했기 때문에 인수분해 or 분모 분자 각각에 미분계수의 정의를 적용해서 처리해주셨으면 되었습니다.

#4 왠지 모르겠지만 뭔가 주어진 그래프가 교과서 중간 부분 or 수특수완 감성

#5 등차수열, 등비수열 결정 문항은 각각의 정의가 이웃한 항 사이의 관계에 초점이 있다는 것을 떠올리면 쉽게 풀 수 있을 때가 많습니다. 다만 '서로 다른 두 가지 정보가 주어지면' 수열을 결정할 수 있다는 것을 기억하고 직접 수열을 식으로 작성할 수도 있어야 한다고 생각합니다.

#7 오랜만에 쎈 B단계 감성

#8 개인적으로 2024학년도 6월 4번처럼 왠지 모르겠지만 기존 평가원보다는 사설, 교육청 모의고사에서 볼 수 있을 법했던 표현이라는 느낌... 일차항 계수에 함숫값이 들어가있고 그런 상황 말입니다 ㅋㅋㅋㅋ

#9 삼각함수의 대칭성에 초점을 두게 만드는 좋은 문항이라고 생각합니다.

#10 접선이 나오면 일단 접점을 설정하고 (구체적으로는 접점의 x좌표를 잡고) 접선의 방정식 y=f'(t)(x-t)+f(t) 을 작성하는 것이 기본 태도입니다.

#12 2022학년도 6월 9번 상위 호환이라고 생각합니다. 귀납적으로 정의된 수열 관련 상황을 연습하기 좋은 문항이라고 느꼈습니다.

#13 f가 실수 전체의 집합에서 미분 가능한 함수이고 f'가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 부담 없이 도함수의 부호 변동을 통해 극값에 대한 생각을 이어가볼 수 있겠습니다. x<-1에서 도함수의 그래프가 x축보다 아래에 위치하다가 x>-1부터는 위에 위치한다는 것이 상황의 핵심이었고, f'(x) 식을 구간 별로 구해보시면 보이는 두 이차함수가 모두 x=-a에서 극값을 지니기 때문에 -a의 위치를 임의로 설정해보며 생각해보시면 a와 0의 대소관계가 중요함을 확인하실 수 있습니다. 이후 f'(x)가 x=-1에서 부호 전환을 겪고 x>0에서 f'(x)의 최솟값이 0보다 작으면 안됨을 이용하면 a 범위와 a와 b 사이의 관계식을 구할 수 있고 답을 낼 수 있었습니다.

어려운 문제냐 물으면 그렇지는 않은 문제이지만, 상황에 대해 충분히 생각해볼 만하고 경우의 수를 나누어보거나 임의의 경우를 가정해보는 등 상대적으로 어려운 문항들을 푸는 데에 쓰면 좋은 사고과정들이 잘 들어가있기 때문에 공부해볼 만하다고 느꼈습니다. 특히 'a와 0의 대소관계가 중요함'을 발견할 때 [-a의 위치를 임의로 설정해보며]에 해당하는 사고 과정, 시도를 직접 경험하는 것이 정말 중요하다고 생각합니다. 개인적인 생각이지만 답까지 이어갈 수 있는 최적의 사고 과정을 정리하는 것보다 그 최적의 사고 과정을 찾아가며 본인이 어떤 생각을 이어가는지 점검해보고 그것과 관련된 훈련을 이어가는 것이 중요하다고 생각합니다.

개인적으로 a+b가 a에 대한 식으로 작성될 수 있다는 점에서 2021학년도 9월 가형 30번이 떠올랐습니다. 이 문제, 수식과 약간의 그래프로 엄밀하게 해설을 작성해보면 재밌으니 아직 해보지 않은 분들께서는 한 번쯤 해보시길 바랍니다!

#14 이런 문항은 직접 예시를 하나씩 들어보며, 임의의 상황을 하나씩 가정해보며 상황을 만족하는 경우를 좁혀가면 좋다고 느꼈습니다. 통합 수능 이후 비슷한 문항으로는 2023학년도 수능 21번이 있겠습니다, 함께 바라봐보시면 얻어갈 수 있는 것이 있을 거라 생각합니다.

#15 f(x)=/=0일 때는 g(x)도 연속입니다. 따라서 x=3에서 g(x)가 불연속이라는 주어진 조건은 f(3)=0을 의미합니다. 이후 경우 나누어 차분히 극한 처리해가시고 주어진 등식의 -1 이용해 수치 결정해주시면 되겠습니다. 깔끔한 극한 연습 문항이라고 생각합니다, 하지만 15번보다는 앞쪽에 위치하는 것이 적절했다는 개인적인 생각이 있습니다. 실제 수능에서는 보다 어려운 문항이 15번에 위치할 수 있음을 염두해두시기 바랍니다.

저는 처음 보고 f(3)=0 확인했을 때 2018학년도 6월 가형 21번이 떠올랐습니다. 차이가 크긴 하지만 하위 호환이라 말할 수 있다고 생각합니다. 비슷한 맥락에서 2023학년도 6월 22번도 함께 학습해보시길 권해드립니다. 함수의 극한에 대해 경우를 나누어 하나씩 따져보거나 생각하는 식의 사고 과정을 요구하는 문항은 전통적으로 꾸준히 출제되고 있다고 생각합니다!

#16 개인적으로 '13'이라는 숫자 사설틱한 듯 ㅋㅋㅋ ㅋㅋ

#19 18번에 이어서 19번이 단순한 수학2 연산 문항이라 조금 아쉽습니다.. 다른 색의 문항을 배치하는 것도 시험지의 구조를 더 아름답게 만들 수 있었을 방법이라 생각합니다.

#20 개인적으로 20번은 더 어려웠어야 한다고 생각합니다. 문제 상황 자체는 재밌고 좋은데... 두 변의 길이와 한 각의 크기가 주어졌을 때 cos법칙으로 다른 변의 길이 구할 수 있고 한 변의 길이와 대응각의 크기를 알고 있을 때 sin법칙으로 삼각형의 외접원의 반지름을 구할 수 있다는 sin/cos법칙의 기초적인 내용들로 바로 두 원의 반지름의 길이를 구할 수 있기 때문에... 개인적으로 아쉬웠습니다.

#21 생긴 건 단순해보이는데 개인적으로 현장에서 말릴 만한 문제일 수 있다는 생각이 들었습니다. 예를 들어 Sn을 an으로 잘못 생각한다거나.. 어떠한 문항이든 스스로의 착각으로 잘못된 사고과정을 이어간 부분이 있다면 하나 하나 정리하여 같은 실수를 반복하지 않도록 하십시다! 

등차수열의 합을 하나의 수열로 보고, 이 수열을 다시 n번째 항까지 더해가는 감성이 n년 전 평가원 기출 문항에 있었는데 정확히 어떤 문항이었는지는 잘 기억이 나지 않습니다.

an=pn+q의 일차함수 꼴로 잡고 생각도 해보시고, 주어진 시그마를 직접 풀어서도 생각해보시고 Sn이 아닌 an의 첫째항부터 7번째 항까지의 합이 644라는 조건으로 주어졌다면 어떤 경우의 수들이 가능했을지까지도 생각해보시면 좋겠습니다. 개인적으로 어떠한 맥락에서든 다양한 사고 과정을 찾아보는 것이 실력 향상 및 성적 향상에 많은 도움이 된다고 생각합니다.

#22 (가) 조건 보고는 x=1 대입해보고 양변 미분하여 f(x)=4x-1 구하실 수 있습니다. (나) 조건 보고는 F(x)G(x)=2x^4+x^3+x+C 생각하시면 좋습니다.

이후 F(x), G(x)의 식을 직접 작성할 수 없을 것처럼 보인다는 것과 그렇다고 (나) 조건의 좌변을 직접 활용하자니 뭐 해볼 수가 없다는 점에서... 다시 (가) 조건을 살펴보면 괜히 1부터 x까지의 f의 적분을 좌변에 준 것이 아니지 않을까 하는 생각을 할 수 있습니다. 이는 수능 수학이 수학적인 난제를 해결하는 아이디어를 보는 시험이 아닌 단서 몇 개를 던져주고 그것들을 조합하여 답을 내는 시험이기 때문에 중요한 사고 과정이라고 생각합니다.

하지만 그렇게 해도 별 의미는 없다는 것을 곧 깨달을 수 있습니다. f(x) 식을 직접 구했기 때문에 (가) 조건에서 더 이상 유의미한 무언가를 발견하는 것은 어렵습니다. 따라서 남은 길은 결정되지 않을 것처럼 보이지만 F(x)=2x^2-x+C로 작성하고 (나)에 주어진 식의 양변을 적분해 F(x)G(x)=2x^4+x^3+x+k임을 이용하는 것입니다. 결과적으로 이를 통해 F(x), G(x)를 결정할 수 있고 물어본 값이 G(3)-G(1)이므로 답을 낼 수 있습니다.

확통#27 확통에서 28번 전 쯤에 적당한 함수 경우의 수 찾기 문항을 종종 냅니다. (가)에서 조건 하나 확정해주고 (나)에서 경우 나누게 했으면 좋았을 것이라 생각하는데 그냥 f(1), f(3), f(4) 중에 짝수가 적어도 하나 대응되어야 함을 의미하기에 셋 다 홀수인 경우를 세어 전체에서 빼주면 됩니다.

확통#28 경우의 수는 결국 전형적이고 전통적인 조건들을 재구성하여 문항을 출제하는 경우가 잦다고 생각합니다. 2022학년도 수능 예시 문항 확통 30번과 함께 바라봐보시길 권해드립니다.

확통#29 머리 쓰지말고 그냥 일일이 세는 것도 좋은 풀이라 생각합니다. 사실 저는 확통 문제 풀 때 웬만하면 다 일일이 셉..니다

확통#30 비슷한 맥락

미적#24 '~일 때' 발문이면 매개변수 미분법이나 음함수 미분법과 연관이 있을 확률이 큽니다. 합성함수 미분법으로 해결할 수 있는 문항의 경우도 음함수 미분법 감성으로, dy/dp 표기 잘 활용하면 보다 깔끔하게 문제 상황이 해결되는 모습을 보실 수 있습니다.

미적#26 등차수열, 등비수열 갖고 망원화와 등비급수 잘 물은 깔끔한 문항이라 생각합니다.

미적#27 놀랍게도 주어진 함수는 실수 전체의 집합에서 미분 가능합니다. x=0에서의 평균변화율의 좌극한을 직접 엄밀하게 조사해보시기 바랍니다, 물론 현장에서는 구간 별로 식 작성 후 도함수 구해서 극한이 수렴하는 것으로 대충 넘어갔어도 큰 문제 없긴 합니다. 이후는 구간 별로 sqrt{1+(dy/dx)^2} 적분해주었으면 됩니다.

[e^x+e^(-x)]/2 감성의 함수가 꾸준히 2차원 평면에서 운동하는 물체의 이동거리 혹은 주어진 함수의 특정 구간에서의 곡선의 길이를 구할 때 나오고 있는데, 쌍곡선 함수라고 부릅니다. hyperbolic sine or cosine function 인데 sinh(x), cosh(x)로 표기합니다. 한 번 찾아보셔도 좋습니다! 대학 1학년 때 미적분학 공부하며 삼각함수 감성으로 접하게 됩니다.

미적#28 이번 시험지에서 논리적으로 생각해볼 만한 부분이 있는 문제 중 하나라고 생각합니다. 다만 f(x)가 구간 별로 정의된 방식이 삼각함수에 일차함수를 합성한 형태이고 g(x)도 정적분으로 정의된 함수에 절댓값을 씌운 형태이기 때문에 조금은 전형적인 면도 있다고 느꼈습니다. 일단 저는 잘 안 보여서 f(x) 그려두고 g(x)=ㅣh(x)ㅣ에 대해 구간 별로 h'(x) 식 작성해두고 넘겼습니다.

(다시 돌아와서)

아니 왜 이렇게 복잡하지 했는데 적분 구간 아래 끝이 -a*pi가 아니라 -ax로 봐서... 어쩐지 이상했습니다. 현장에서 이렇게 말릴 수 있으니 한 문제에 5~10분 고민해보고 안 보이면 무조건 넘기는 것이 좋다고 생각합니다. 그럼 일단 미분 가능한 함수에 절댓값 씌웠을 때 미분 가능하려면 x축과 만날 때 미분계수가 모두 0이 되어야 하니... (증명은 적당한 상황 설정 후 미분계수의 정의로 가능, 자세한 것은 한완수 등 참고) x<0부터 바라볼 때 a=1/4, 2/4, 3/4, ... 식으로 되어야합니다. 그리고 각 a값에 대해 x>0에서 h의 최솟값들이 h(0)으로부터 2/a만큼씩 작은 애들이기에 얘네가 g(x)의 관점에서 x축에 닿는지 혹은 위에 있는지를 조사해보면 가능한 후보가 좁혀질 것입니다.

개인적으로 f(x) 생긴 것만 바라볼 때는 2017학년도 9월 가형 30번이 떠올랐습니다! g(x) 생긴 거 보고는 2017학년도 6월 가형 30번이 떠올랐습니다.

미적#29 경우 분류해서 차분하게 a, b값 결정하시면 됩니다. 통합 수능 이후 29번 포지션에 그리 어렵지 않은 문항이 4점짜리로 배치되는 경우가 종종 있었다고 생각하는데, 대표적인 예에 2023학년도 수능 미적 29번이 있습니다. 이렇게 보니 작년 수능 수학이 깔끔하게 잘 만들어진 시험이었다는 느낌도 드네요!

미적#30 원이 주어지면 일단 원의 중심부터 잡고 생각하는 것이 기본입니다. 이는 이렇게 했을 때 대부분의 문제 상황에서 핵심적인 사고 과정을 발견할 확률이 통계적으로 크기 때문도 있지만, 애초에 원을 정의할 때 '한 점으로부터 일정한 거리에 있는 점들의 자취'에서 '한 점'이라는 원의 중심이 들어오기 때문에 제가 '기본'이라고 표현하곤 합니다.

원의 중심을 O라 하면 삼각형 OCP에서 cos법칙을 통해 선분 CP의 길이를 theta에 관한 식으로 작성할 수 있습니다. 이후 S 구해 미분하면 됩니다. 주로 theta에 대한 식을 작성하게 하면 극한을 묻곤 하는데 2022학년도 9월 미적 28번에서 적분 묻더니 2024학년도 9월 미적 30번에선 미분 묻네요! 

S 구한 다음에 S' 구할 때 조금 어지럽습니다. 저는 선분 CP의 길이를 x로 두고 dx/d(theta) 작성, theta=pi/4일 때의 각 항들의 값을 구해 조합(?)하듯 답 냈습니다. 

문제 자체에 무언가 핵심적인 사고 과정이 담겨있다기엔 원의 중심과 원 위의 점을 연결하는 게 다고... 출제 의도가 계산에 있다고 하기엔 2020학년도 9월 가형 30번 강도의 절반도 되지 않는 것 같고... 개인적으로는 여러모로 아쉬웠습니다.

기하는 음.. 포물선 x=p, 2p, 3p 재밌어보이고 30번 벡터 놀이 복잡해보이던데 별로 풀어보고 싶지 않아 pass