삼차함수 정적분 공식 (feat. 24수능 12번 계산줄이기)
아시는 분은 대부분 아시는 내용이겠지만 6평때 엄청 핫했던 걸로 기억하는데
이번 수능에서는 12번 계산이 엄청 더럽다라는 이야기만 많고
적용해서 풀이해주신분이 안보여서(계실텐데 제가 못찾았겠지만요) 글 하나 작성합니다.
삼차함수 f(x)=k(x-a)(x-b)(x-c) 에 대해서 (a,b,c가 모두 다른 실수일 필요없고, a,b,c의 대소관계에 무관하게)
a에서 b까지 f(x)의 정적분값을 "비교적 쉽게" 계산할 수 있는 정적분공식이 있습니다.
이는 삼차함수의 점대칭성을 이용하는 방법이고
위의 삼차함수꼴을 점 ((a+b)/2,0)에 대해 점대칭인 삼차함수 와 이차함수의 합으로 변형하는 게 주요 원리입니다.
(수식이 가운데정렬이 되는데 수정하는 방법을 몰라 그대로 쓰겠습니다.)
이렇게 식을 변형할 수 있는데요.
이 중 왼쪽의 정적분의 피적분함수인 삼차함수는 점( (a+b)/2 ,0) 에 대해 점대칭인 함수이고 적분구간이
대칭구간이므로 정적분값은 0입니다.
따라서 f(x)의 정적분값은 오른쪽의 이차함수의 정적분 값과 같고
이는 잘 알려진 이차함수의 넓이공식을 통해 구해낼 수 있습니다.
사실 정적분 값이기에 부호도 유의미하지만, 넓이의 부호를 잘 알수 있는 경우라면
절댓값만 기억하셔도 꽤 유용하겠죠.
직관적으로 공식을 기억하는 방법을 설명드리자면
(정적분구간의 윗끝과 아랫끝의 평균과, 정적분구간이 아닌 x절편의 차) * 이차함수 넓이공식 입니다.
또한 여러분이 잘 알고 계시는 한점이 접점일때의 공식도 같은 방법으로 유도가 가능합니다.
f(x)=(x-a)(x-b)^2 = (x-a)(x-b)(x-b) 이므로
a부터 b까지 정적분공식은 a,b의 평균값에서 나머지근 b를 빼면 (a-b)/2 가 되고
여기에 이차함수의 정적분공식 - (b-a)^3/6 을 곱해주면
(b-a)^4/12 가 완성됩니다.
간단하게 연습해보겠습니다.
1) f(x)=(x-1)(x-3)(x-9) 일때 1부터 3까지 f(x)의 정적분값
머릿속으로 간단하게 개형을 그려봅니다.
1부터3까지 구간은 f(x)가 x축 위로 올라간 부분이겠죠. 그럼 결과값이 양수일테니 부호는 신경쓰지말고
절댓값만으로 생각해보겠습니다.
1과 3의 평균 2와 나머지근 9와의 차이 7
이차함수 넓이공식 2^3/6= 4/3 의곱 28/3
2) f(x)=(x-1)(x-3)(x-9) 일때 1부터 9까지 f(x)의 정적분값
위에서 그린 개형을 생각해보면 근의 간격 덕분에 (함수값이 음수인 간격이 더 넓으니)
정적분값이 음수겠네요.
1과 9의 평균 5 나머지근3과의 차이 2
이차함수 넓이공식 8^3/6=256/3 이므로 정적분값은 -512/3
실전문제에 적용해봅시다.
다음 문제는 6월모의고사 10번 문항입니다.
문제에서 제시된 (A의 넓이)-(B의 넓이)라는 조건이
0부터 3까지 f(x)의 정적분값을 의미합니다.
0과2의 간격이 2와3의 간격보다 넓으니 정적분값은 양수일테고요.
0과 3의 평균인 3/2 와 나머지근 2와의 간격 1/2 에다가
이차함수 넓이공식 27/6 그리고 삼차항계수 k를 곱해주면 3이나온다.
이제 k의 값을 구하는 건 일차방정식..
진짜 본론으로 들어가서
올해 수능 12번 문제이고 당일날 풀이를 캡쳐한 것입니다.
(https://orbi.kr/00065167234 여기에 전문항(기하제외) 손풀이가 있습니다.)
넓이가 최대이려면 기울기가 -1인 접선의 접점중 x좌표가 0과 6사이에 있는 점의 x좌표가 t인것의 해석은 당연하고
t=3을 찾는 과정은 생략하겠습니다.(실제 넓이를 구하는 과정의 숏컷이 본 내용인지라..)
(저는 간격곱을 이용했습니다. 궁금하시면 댓글 달아주세요)
구하는 부분의 넓이를 다음과 같이 해석할 수 있습니다.
원점과 (3,6)을 지나는 직선 y=2x 가 f(x)와 만나는 점 중 원점과 (3,6)이 아닌 점의 x좌표는 12입니다.
(f(x)=0의 세 근의 합이 15 이기 때문에 0+3+12=15)
따라서 (y=f(x)와 y=2x 가 구간 [0,3]에서 둘러싸인 넓이) + ((0,0), (3,6), (9,0) 을 세 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이)
가 구하는 값이 되겠습니다.
f(x)-2x=1/9 * x(x-3)(x-12) 이므로 삼차함수 정적분 공식을 사용해보면
(y=f(x)와 y=2x 가 구간 [0,3]에서 둘러싸인 넓이) = 1/9 * 12/2 * (27/6) = 21/4
((0,0), (3,6), (9,0) 을 세 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이)= 1/2 * 9*6=27
이므로 답은 129/4 임을 알 수 있습니다.
위의 설명이 부족하실까봐 부연설명 그림하나 첨부하며 글을 마치겠습니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
워낙 물이라 ㅇㅇ
-
난 그내용 알기도 전에 사후세계도입함
-
오늘 하루 0
끄읏
-
그러나 귀찮음이 앞서게 되
-
의지가 충만해지고 그때 한일들은 다 결과가 좋았음 올해도 제발…
-
시발시발점 1
150강 GOAT. 본인 저능아라 뉴런 <--- 못할거 같아서 빡 차 병호 중에...
-
억울함 진짜 0
엔티켓 얼마 안남기도 했고 지금까지 풀었던 거랑 오답 2회독은 기본해서 도깨모...
-
과연
-
6모 2컷, 9모 3등급입니다. 10월 3번째주까지 n제 푼거 정리 + 수완 +...
-
행복하네여
-
걍관심주지마셈 1
ㅇㅇ
-
나때는 공간벡터가 29번 킬러문항으로 나왔는데..
-
ㅋㅋㄹ님 저분은 5
그...논리 전개가 잘못되었다기 보다는 기본적인 전제가 잘못된 것 같네요
-
낮과 기준요 언매 2컷 확통 1컷 영어2 사탐각각 1컷, 3등급
-
의사들 증원반대하는 이유가 지들 밥그릇 뺏기는거라면 1
얼마나 페이가 감소하길래 저러는거임?
-
6모 때 4뜨고 9모 때 80점 맞아서 3떴는데 어떻게 공부해야 할까요? 최저러라...
-
자살말린다 걍 개꼬임 막전위도 개쉬운 건데 속도 주어진 상태에서 -80이랑 -60...
-
대병훈
-
3등급임?
-
좀 힘드네요 런닝머신과 사이클 같은 유산소만 하루 2시간씩 하는데..
-
오늘 실모 푼거 1~14까지 그냥 느긋하게 풀어서 2시간 정도 걸림 근데 아무리...
-
생1 보통은 높2 로 그냥 고정인데 절대 여기서 떨어지지도 올라가지도 않음 유전 풀...
-
40일의기적 1
40일의 기적은 존재하는가? 잘모르겠다 공부하자..
-
실모는 킬캠 시즌1 n제는 드릴5 본교재+워크북만 풀었어요 드릴이랑 비슷한 난이도의...
-
졸려 5
잠와
-
다시푸는데 작년에 어케다맞았지
-
출산율0.6 1
진짜 자기 몸통만한 가방 맨 애기들이 영어로 대화하고 혼밥을 하고 하나같이 웃음기가...
-
제발 수능에서 정상화 되어다오...난 널 버리고 싶지 않아...
-
생각해보이 항상 더프 22번을 못푸네 잠깐 22수열이였던적 이후로 계속 못푼듯
-
강케이가 매주 나한테 이렇게 말하네..
-
주제가 너무 똑같아 눈가루처럼 좀 더 다양한 주제를 가져와주면 좋겠는데 그놈의...
-
실력이 모자라서 비비비비비비비만 계속하는중
-
날 즐겁게 해줘서 고마워
-
안 일어날수도 있을거 같다
-
[파이널칼럼1]ebs연계 가장중요한 leet지문, 선별분석 pdf첨부. 10
베라 쌤입니다. 가장 중요한 연계중 지문중 하나인 지문입니다. 등급에 상관없이...
-
토론같은거 하면 되게 재밌을거같음
-
일단 김성재 선생님 스페셜골드 책이고요 질문이 좀 있습니다 (고유시간과 빛의이동)...
-
지구질문 3
지괴가 동일위도 선상에서 움직이면 지괴에서 추정한 고지자기극의 위치는 변하지...
-
요새 컨디션 감기때매 개 박고 안좋은 일도 너무 많아서 우울했는데 5
오늘 서바친거 100점 맞아서 보상받는 느낌이 들어서 좋다 최근 진짜 심적으로 너무 힘들었는데
-
근데 희비 비율이 1:9 ㅠㅠ
-
이미지모의고사 4
어떤가요??
-
어떤게 더 낫나요 학원 왔다갔다 하는건 귀찮을 같긴한데 그래도 혼자 보는거 보단...
-
중3 꿀팁 3
직탐런
-
순해지기 4일차 11
-
처음 보는 단어구만
-
관서별곡 1
작가 ㄹㅇ 직무태만의 표본이네..
-
Q/A에 질문 남겨놓고 목록에 보니까 저랑 같은걸 질문하신 분이 두분이나 더...
고2 내신 대비할 때 처음 배우고 여태까지 낭낭히 쓰고 있는 공식인데 생각보다 많이들 안 쓰시는 것 같기도 하고,, 좋은 글 감사드립니다
https://youtu.be/OMiJ0DlWoUo
해당 문항 영상링크도 공유합니다.
간격곱이 뭔지 혹시 알 수 있을까요? 검색해도 잘 안나와서,,
아 저는 예전부터 간격곱이라고 칭하고 부르는데, 최근에 "거리곱"으로 더 잘 알려져 있더라고요.
거리곱으로 검색하셔도 좋고요.
제 모고풀이영상중에 간단히 소개한 내용이 필요하시면 링크 드릴게요.
https://youtu.be/xqDjF8ejdqg
이 링크에서 8번문항 보시면 됩니다.
https://orbi.kr/00064393153
여기에도 수학문만중수 님이 올려주신 간격곱 적용 기출문항이 있어요