[칼럼]논술에서도 쓸일 없는 테일러 급수 증명법 (ver.고등학생)
첫 글 쓴지 얼마 안되서 두번째 글을 써보네요... 그리고 이륙 지원해주신 분들 모두 감사합니다!
제목대로 테일러 급수는 사실 논술에서도 써먹을 기회 자체를 거의 주지 않습니다... 하지만 난 극한 문제를 풀 때 테일러 급수 매번 쓰면서 너무 찝찝했다! 하시는 분들은 한번쯤 읽어 보시면 좋을 것 같습니다.
테일러 급수란 초월함수를 다항함수의 합으로 나타내는 방법입니다. 예를 들자면
과 같은 식의 방정식입니다. 이를 전개하면
과 같은 모양이죠. 여기서 우리가 주로 쓰는 부분은 이차항 이상의 부분을 싹 다 잘라내고
로 근사한 부분입니다. x가 0에 가까워질수록 1차항보단 2차항 이상의 부분의 오차가 매우매우매우 작아지기 때문에 이렇게 근사할 수 있는 것입니다.
그럼 지금부터 테일러 급수의 증명을 간단하게 적어 볼게요.
급수로 구하고자 하는 함수를 f라 둘게요. 고등학교 과정에서 배우는 모든 초월함수는 무한히 미분 가능하니 f도 무한히 미분 가능하다고 두죠. 그러면 미적분의 기본정리에 의해
가 성립합니다.
위 식을 부분적분하는데 u=f'(t), v'=1로 두고 적분상수 C=-x로 두면 다음과 같은 전개가 가능해집니다.
v'=1이면 v를 적분하면 t+C가 나오죠. 여기서 적분할 인자는 t이기 때문에 적분상수를 x로 둘 수 있게 됩니다.
자. 이번엔 오른쪽의 (t-x)f''(t)를 다시 부분적분해 보겠습니다.
여기서 f 위의 괄호 안의 숫자는 f를 미분한 횟수를 표현하는 방법 중 하나입니다. '(dot)을 많이 찍다 보면 갯수 세기가 불편하잖아요?
한번 더 전개하면
이를 계속 반복하다 보면 이러한 규칙이 생깁니다.
이렇게 다 더하면
라는 식이 나옵니다.
함수 f는 무한히 미분이 가능한 함수라 가정했고 대부분의 초월함수가 실제로 그 조건을 만족하므로 n은 무한히 커질 수 있겠죠?
이때 어지간한 초월함수라면 n!의 증가량이 분자 부분((t-x)^n f^(n)(t))의 증가량보다 아득히 크기 때문에 마지막 적분 기호는 n이 무한대로 발산한다면 0으로 수렴합니다.
(이 부분은 대학 가서 적분의 평균값 정리를 배워야 자세히 설명이 가능한데... 일단은 이렇게 대충 짚고 넘어갑시다)
따라서 f(x)는 다음과 같이 새롭게 정의할 수 있습니다.
이것이 그 탈 많은 테일러 급수의 유도 과정입니다.
그럼 이제 실제로 자주 쓰는 초월함수 몇 개를 넣어서 한번 계산해 보죠.
먼저 f(x)=e^x입니다.
f'(x)=e^x, f''(x)=e^x, ... 이므로 a=0을 대입해 정리하면
가 됩니다.
이번엔 로그함수 f(x) = ln(1+x)입니다.
f'(x) = 1/(1+x), f''(x) = - 1/(1+x)^2, f'''(x) = 2/(1+x)^3, ... 이므로 a=0을 대입해 정리하면
가 됩니다.
다음은 사인함수, 코사인함수를 해 볼까요?
이번에도 a=0을 대입하고 미분해서 계산해 보면
나머지 삼각함수들은 사인, 코사인처럼 직접 유도되는 것이 아니라 다른 방법으로 유도합니다. 그래서 그 과정 설명은 못 해드리고... 가장 자주 쓰이는 탄젠트의 식만 짧게 보여드리겠습니다.
네... 이 친구의 계수는 얼핏 보면 불규칙해 보입니다. 이는 나중에 베르누이 수열이라는 걸 배운 뒤에 알아보시는 걸로...
다른 초월함수들은 고등학교 과정에선 거의 안 배우죠? 그러니 초월함수 탐색은 여기까지 하겠습니다. 수식 넣기 힘들어요
마지막으로 테일러 급수는 대체 어디까지 근사해서 써야 하느냐! 에 관한 내용을 조금이나마 적겠습니다.
대부분의 극한 문제에서는 분모 분자가 같은 차수가 되도록 문제를 만듭니다. 이러한 경우에는 보통 1차항(코사인의 경우는 2차항)까지만 근사하면 답이 나옵니다.
하지만 간혹가다 분자에는 사인 1개 x 1개나 탄젠트 1개 x 1개 줘 놓고는 분모에선 3차항을 준다던가... 하는 경우가 있습니다.
뭐 이런식으로 말이죠. 이때는 분모와 차수가 같아지는 차수까지 근사를 해 주셔야 합니다. 가령 위의 식에서는 사인을 3차까지 근사해서 답은 1/6이 나옵니다.
여기까지 테일러 급수의 증명과 활용시 주의점에 대해 부족하게나마 적어 봤습니다. 이걸 보고 수학에 흥미가 생기신다면 좋겠네요... 긴 글 읽어주셔서 감사합니다!
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
수2 질문 0
위 두개 개형의 거리차 최대가 왜 3분에8일까요? 그리고 거리의 차가 무슨소리죠?. 위치차라는건가여
-
공하싶 0
오르비 꺼라.
-
학교가기싫 1
-
공하싫 222 2
에휴
-
공하싫 4
-
아닌가 반댄가
-
든든한 한국의 동맹국
-
아 학교 옮길까 2
처음부터 다시 공부하는거야
-
https://gall.dcinside.com/mgallery/board/view/?...
-
이번 (출제진)제의 받은거 안되면 못참겠다 대학 가라 니머리면 1년만 하면 할수있다...
-
4수하면서까지 느끼는 건데 오히려 대학 간 애들(성대, 숭실대, 치대 등) 얘기...
-
ㅗ 0
욕 아님
-
본인 뻘글러인데
-
멸치 헬린이 죽어야겠다
-
어떤걸 선택하셨나요?
-
한 문항에 대해 이의제기를 했습니다. 받아줄 것 같지는 않지만, 한 번 답변을 기다려 보려고 해요.
-
묘한 아쉬움은 지울 수가 없다 그래도 나아진 거에 감사하는 게 맞겠지
-
국영수보다 과탐이 젤 걱정댐…
-
여러분은 5월하면 뭐가 떠오르시나요? 저는 개인적으로 5월 18일의 "광주...
-
선샹님 의자에 커터칼 조각 둔적있었는데
-
지 몸찍어서 파는사람이라는데
-
메인 가지 심심해서 싼 글이어도 메인 가면 부담스러움 ㅋㅋㅋ
-
여친 개어리고 이쁘고 몸매좋앗던거같은데
-
학교상담했는데 0
전공 안 맞는다고 했더니 긍정적으로 생각하래… 빨리 탈주해야지 ㅎ
-
"방시혁, 안면인식장애 탓에 인사 못 받았다"…뉴진스 부모 폭로 2
[파이낸셜뉴스] 방시혁 하이브 의장이 산하 레이블 어도어(ADOR) 소속 그룹...
-
하 지각이다 1
배차간격 무슨일진짜....
-
너무 좋다
-
최대 목표로 설치 생각했을 때 불리할까요? 그 외에는 설공-설약 정도로요. 언매...
-
이게 코로 숨쉬는 느낌이구나 좋구만
-
그래도 세이프 0
-
일단 하던거 끝내고 하든하자… - 이 생각이 꽤 중요한듯
-
고삼이고 만년 7(걍 공부 안함)이였다 이번에 좀 공부했는데.. 문학 화작 다풀고...
-
병원단체 '3천명증원' 제안 알려지자 의사들 '신상털기' 나섰다 2
대한종합병원협회, 5년간 3천명 의사 증원 제안…복지부, 관련 자료 법원 제출 의사...
-
멘붕 하지 않는 방법 좀 터득함 가장 먼저해야하는, 안 하면 제일 ㅈ될 거 같은...
-
지금 4규랑 미친기분 완성 벅벅중인데 6모쯤되면 다 끝날듯 그 다음 n제...
-
진짜 일요일에 목 터져라 응원했더니 어제오늘 온몸이 쑤시는거 같아
-
만약 산다면 영어만 살거 같은데... 차라리 그냥 인터넷에서 수특 영어 강의해놓은거...
-
왜 이러지
-
지금 시발점+쎈+수분감 스텝0은다했어요 스텝1 단원별로 끝내고 뉴런들으려는데 뉴런...
-
인생 마지막 보루가 터진듯
-
몸 좋고 키 크고 잘생긴 남친 있었네용 여자한테 설레는건 오랜만이었는데 임자가...
-
정신과에서도 별 말 없는데 왜케 졸리고 조는지 의지 문제임? 환경 문제인가? 나랑 비슷한 사람 ㅠㅠ
-
학원에 돼지년 8
쫓아다니는거 선생한테 말해도 될까?? 엘레베이터 두개와서 일부러 게 안들어가는거...
-
노윤서너무예쁘다 0
홀린듯이 파리바게트 들어갔네
-
한 절반정도는 "특정 인물"이더라구요! 전 몰랐다가 오늘 본인이 언급해서...
-
외고생의 급식 11
ㅆㅅㅌㅊ?
-
서강은 경제 정책 주도했던게 국가 기여 큰 업적 같은데 성대는 이런 류의 업적 없나
-
초등학생, 대낮 놀이터서 초등생 3명 찔렀다 '경악' 14
[파이낸셜뉴스] 아파트 단지에서 초등학생이 같은 학교 초등학생 세 명을 칼로 찌르는...
-
피램으로 혼자 기출하다가 한계를 느껴서.. 인강커리타려고하는데요 지금...
-
난 외계인이다. 3
서술어의 자릿수에서 예를 들어, 2자리 서술어면 필수적 문장 성분이 하나 빠졌을 때...
테일러씨는 참 똑똑하구나
한무 부분적분으로 테일러급수 느낌있게 증명하기 ㄷㄷ
멋있네요
전 개인적으론 이것보단 미분을 이용한 증명이 더 멋진데... 엡실론 델타를 여기서 설명할 수는 없으니 ㅠ
이것도 올려주신다면 재밌게 읽어보겠습니다 ㅎㅎ,,
이건 차마 설명을 못하겠네요... 너무 풀어쓰기가 힘들어유...
예전에 저걸 통해서 오일러 등식 도출할때 참 수학 재미있다고 생각했었는데...
좋은글 감사합니다