왜 두 점을 잇는 최단 거리의 곡선은 직선인가
당연한 명제지만 이를 증명해 본 적이 있는가?
당연히 없을 것이다. 왜냐하면 이를 증명하기는 생각보다 꽤 어렵기 때문이다. (미적분 개념을 알고 있으면 좋다.)
먼저, 두 점
를 가져와 보자.
이 두 직선을 잇는 아무 곡선 y(x)를 생각해보자.
곡선의 길이를 측정하는 함수 L(y)에 대해서,
L(y)의 극값, 즉 극솟값이 최단 길이가 될 것이다.
L의 극값을 구하기 위해 y를 살짝 변형해보자.
이때, y_0(x)는 우리가 구하고자 하는 최단 거리의 곡선이고
αη(x)는 그 곡선으로부터 얼마나 변형되었는지를 나타내는 추가 함수이다. 당연히 시작점과 끝점은 같아야 하기 때문에
이 된다. 이때, 최단거리 곡선은 y_0이므로, α가 0일때, L이 최소가 될 것이다. 그러면, L의 α 에 대한 편미분
이 되도록 하는 α 가 0이라는 뜻이다.
그런데 L은 우리가 미적분에서 배웠듯이
가 된다. 이때,
이므로
적분식의 첫번째에서 두번째 식으로 가는건 연쇄법칙을 이용한 결과이다.
이를 부분적분해주면
이때, 우변의 두번째 항은 η의 양 끝값이 0이므로, 0이 된다.
그렇다면,
이렇게 된다. 임의의 η에 대해 항상 α=0일때 저 식이 성립하려면
이어야 하고, 그러면
가 됩니다. 결과적으로 y_0'는 상수가 되고 y_0는 직선이 된다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
'이론에서는 외면성에 대응하는 예술이 현실에서는 내면성을 바탕으로 하는 절대정신일...
-
하려면 어떻게 해야 하나요
-
반수 예정이고 독학하려는데 어떤 책 쓰면 좋을까요? 수능때 맨탈 터져서 … 망햇고...
-
생명 인강 강사 1
메가 대성 패스있는데 생명 스킬 강의 누가 좋음요 ? 개념강의는 한종철T 들었음요
-
그냥 들어갈까 아 ㅋㅋ
-
동생이 사춘기가 왔는지 25
제가 손잡거나 머리 쓰다듬으려 하면 피하네요 작년까지는 그래도 받아줬는데......
-
저녁 메뉴 추천 ㄱㄱㄱㄱ
-
혈중adh. 오줌생성량. 오줌삼투압. 혈장삼투압 이런거 관계 제시되는 문재풀때...
-
제 풀이에 오류가 있는거같은데 도저히 어딘지 모르겠습니다.. 찾아주세요 ㅠㅠ
-
지금듣는노래 3
-
갑자기 왜이렇게 5
우울하지.. 울고싶군
-
ㅇㅇ
-
오곡 오고곡 11
공부해야지
-
드뎌 다 도착 이제 기출 끝나면 고양이도 사서 커리 끝... 생1 50한자리는 내가...
-
대학교 드가자마자 부모님이 bmw미니사주는 삶이라 부럽네
-
허허허 씨발
-
비문학 시간을 줄여 시간 내에 풀어보자
-
생각보다는 일본의사 연봉이 낮네요.. 엔저 환율 때문에 낮아보이는 건가..
-
예2이상은 해외다니는애들도 많고 힐링하는 애들 많은데 예1은 학교는 다닌다 하는데...
-
30초 주기로 훌쩍이면서 기침 반복하는데 얼음을 와그작와그작 씹어먹네 감기 걸렸으면...
-
4덮 뽑아서 풀어봤는데 4개 찍었어...
-
항상 1~1.5지문 버리게 됩니다. 어디서 시간이 많이 새고 있ㅇ나요? 참고로...
-
인모드 받아야지 1
이게시발 찹쌀모찌야 사람이야
-
https://orbi.kr/00068095509 계속 난이도 얘기가 있어서 진짜...
-
웬만한 수험생이 할정도는 다 한거겠죠? 현강은 7월쯤부터 서바 모의반 들어갈거...
-
좀 느리더라도 뉴런 수분감 완벽하게 해놓는게 좋겠져? 2~3번은 다시풀어봐야 할거같은데....
-
수잘싶 16
아.
-
중안부 ㅇㅈ 29
쿄쿄
-
고딩때도 보면 분명 운동 방정식 세웠는데 못풀거나 오래 걸리는 경우 있잖아요 등속,...
-
이참에 수능이나 두 번 더 봐버려?
-
근데 대학에서 여러과가 다같이 듣는 과목은 좀 고등학교로 내리자 7
미적분학, 선형대수학, 일반 물리&화학(얘네는 물화12에 꽤 많이 있긴한데...
-
Vaia미쳣다 0
솔루션이나 qna관련사이트 죄다 유료라 찾아도 쓰질 못햇는데 여긴 무료에다 설명도 개친절함
-
풀때는 ㅈ같았는데 다 풀고 나면 계속 벡터 분해하고 각도 구하고 해야하는 뉴턴...
-
이화의 국수 성적같다고 하면 뭐가 더 유리한가요..? 상관없나요? 자연은 당연히...
-
공부하기싫어요 2
ㅜ ㅜ
-
근데 피부라는게 ㄹㅇ 돈쓰면 노화도 어느정도 막아지나 7
인강강사들 보면 유독 나이대에 비해 젊어보이는 사람들 천지임 생각나는거만해도 윤성훈...
-
허리 디스크인줄 알고 엑스레이도 찍어봤는데 디스크쪽에 문제 있는건 아니고 하도 다리...
-
내가 안경 쓰면 말라서 되게 늙어보이고 없어보이는데 학원 여학생들이 나 처음 볼 땐...
-
지금 수학 96 언저리 국어 93 언저리 나오는데 3차이가 왤케 멀어보이지 작년에...
-
얘가 유류분권이나 기속행위급이었다고?
-
수학 공통 다맞는게 표점 높나요 선택다맞는게 표점 높나요 4
미적인데 점수는 같을때
-
(가) 2022수능 기하 4컷(원점수 51점)을 맞았다. (나) 실력도 좆도없는게...
-
물건 더 비싸게 사고 한국 소비자들이 바가지 씌이는 것도 큰 문제지만 가장 큰...
-
무슨 개념 제시하고 설명하시는데 제시할때 그거 그대로 gpt나 claude에 치면...
-
ㅇㅅㅇ
-
이원준 ㄹㅇ
-
솔직히 신인 보는 맛 제일 있는팀 >>> 한화 ㅇㅈ? 개노잼 북일고 팜 벗어나니 이리 재밌네
-
뒤질거 같은디 ㄹㅇ
(뒤로돌아가기)
헉
이거보고수학과포기하기로했다
이거는 진짜 개쉬운건데...
글고 수학 아니고 물리에요
이건 변분법을 이용한 증명인데 실제로는 미분가능하지 않은 곡선도 있기 때문에 엄밀함을 추구하는 수학에서는 사용할 수 없는 증명이에요
이거보고물리학과포기하기로했다
천천히 읽어보시면 그렇게 어려운 내용은 아니에요 ㅎㅎ
그냥 고등학교 적분규칙정도만 잘 알고 있어도 이해 가능티비
이거보고 유미q 직선으로 날리기로 함
그거는 트롤로 가는 직선 경로
이거보고 케인코 미분했다
근데 왜 시간이 갈 수록 코 크기가 안 줄어드나요
기울기는 -3000이지만 이미 코 크기가 26.7Gpc이라 작아지는게 안보이는 나