미분에 대하여
오랜만에 공부 얘기 좀 써 보려고 합니다.
제목 그대로 미분에 대해서입니다. (제가 제목 짓는 센스가 없어서...ㅋㅋ;;)
“미분계수란 무엇인가요?”라고 물으면 아마 “접선의 기울기”라고 대답하겠죠?
맞는 말이긴 하지만, 제 경험에 비추어 보면, 여기서도 찝찝함이 조금 남습니다.
“왜 접선의 기울기를 궁금해하지? 애초에 미분은 왜 하는 걸까?” (궁금해하세요.)
이 물음에 대한 저의 답을 이야기하고자 합니다.
우리가 모르는 함수 가 한 점 를 지난다고 합시다.
이 정보만을 갖고 우리가 에 대해서 무엇을 더 알 수 있을까요?
우리가 정확히 알 수 없는 때로는 복잡하고 때로는 추상적인 이상한 함수라도 우리는 이 함수를 알아야만 한다고 합시다.
결국 우리는 이러한 함수를 우리가 “통제하고 다루기 쉬운 꼴”로 “근사”해야 하겠지요.
여기서 두 가지를 명확하게 해야 합니다.
1. 우리가 통제하고 다루기 쉬운 꼴은 무엇인가?
2. 어떠한 근사가 좋은 근사인가?
우리가 통제하고 다루기 쉬운 대표적인 꼴은 "선형", 일차함수가 될 것입니다.
즉, 우리는 미지의 함수 를 아주 좋은 일차함수로 선형근사하고자 합니다.
그렇다면 어떠한 직선이 좋은 근사가 될 수 있을까요?
함수 가 점 를 지난다는 조건에 의하여 기울기가 미지수인 직선을 생각해 봅시다.
그러면 원래 함수와 당연히 오차가 생기겠지요. 그 오차를
라고 합시다.
아래 그림을 보면, 점와 멀어질 수록 일반적으로 원래 함수와의 차이는 커질 수 있겠지요.
하지만 에 가까워질 수록 그 차이는 의 값에 상관없이 항상 0에 수렴하게 됩니다.
그럼 여기서 가 어떠한 값을 가져야 차이가 0으로 가장 빠르게 줄어들 수 있을까요??
위의 두 번째 물음인 좋은 근사에 대한 답이 바로 다음과 같습니다.
좋은 근사 = 원래함수와 선형근사시킨 직선의 오차가 가장 빠르게 줄어들도록!
직관적으로, 오차가 줄어드는 속도가 가장 빠른 직선이 가장 좋은 선형근사라고 할 수 있겠습니다.
이제 우리는 오차가 가장 빠르게 줄어들도록 직선의 기울기를 결정해야 합니다.
이때 0으로 줄어드는 속도가 빠르다는 것은 극한의 언어를 빌려와서 설명할 수 있습니다.
똑같이 0을 극한값을 갖더라도 함수식이 갖는 인수의 개수가 더 많을수록 더 빠르게 0으로 수렴할 수 있겠지요? (조금 더 엄격하게, big O notation, little o notation을 통해 설명해야겠지만 넘어갑시다.)
0이 되는 인수를 하나 제거하더라도 여전히 0으로 줄어든다면 속도가 더 빠르다고 할 수 있겠습니다.
이것을 수식으로 옮겨 적으면 다음과 같겠네요.
우리가 찾은 기울기가 다음과 같게 됩니다!
우리는 위 극한값이 되는, 선형근사시킨 직선의 기울기를 "미분계수"라고 부르기로 약속한 것입니다.
그리고 이렇게 선형근사시키는 행위를 "미분"이라고 약속하며,
이런 최적의 선형근사가 가능하다면, 즉 위의 극한이 존재한다면 우리는 "미분 가능"하다고 부릅니다.
긴 글 읽어주셔서 감사하고, 여러모로 조금이나마 도움이 되셨길 바랍니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
좋아요 0 답글 달기 신고
-
좋아요 1 답글 달기 신고
-
안녕하세요 대치시대인재 수학단과 알아보던 예비고1입니다 중3기말이끝나고 수학상을...
-
도대체 어디계신가요....? 아무 찾아도 시간표가 안나옴
-
김은양 현강 2
김은양 현강 들으시는 분들 쪽지 주실 수 있을까요 ㅠㅠ 물어볼게 있어서요...!
-
인강생이었다가 이번에 현강 처음 가는데 (대치이강) 입장전에 대기줄 빡센가요??...
-
원래 국어, 수학 두개 현강 듣고 생1,지1,영어는 인강으로 들을려고 했거든요.....
-
김상훈 현강 7
인강 이정도면 거의 전오픈 아닌가 유네스코도 있으면;; 드랍하고 김은양들어야되나 김은양쌤 좋나요??
-
보통 평가원 기준 독서 3~4개 문학2~3개 문법2개 정도 틀리는 2~3진동...
-
현강 3개 정도 생각 중이면 어떤 조합이 나을까요? 탐구는 화1 생1 생각 중이고...
-
영어 노베 0
영어 노베에 오늘 수능도70점인데 내년 현강이나 강의 추천해주실 분있나요 현강 만약...
-
수학 : 가형 탐구 : 과탐 기준
-
2021 수능 대비 전제
-
제가 아파서 수업을 못들었는데 필기 찍으신분 계시면 보내주실수...
-
제목에 저 세분 토일 현강 지금 신청하면 언제쯤 갈수있나요
-
안녕하세요, 션티입니다. 논란이 있어 참으로 조심스럽지만, 파이널 강의 공지글은...
-
지금 영어 과외를 하고 있는데 영.. 아닌 거 같아서요..ㅜㅠ 지금이라도 현강을...
-
태풍으로 휴강된적 있나요? 낼 현강있는데 태풍뚫고 가야하나?
-
영어 2현강 4
다음주부터 정식쌤 현강 듣는데 영어가 너무 불안해서요... 3진동인데 션티 이비에스...
-
김승리T 시대 화요일 아침수업 결석하시는 분 계신가요 보강가려고 하는데 아무도...
-
문의 넘 많아서 쓰는 파이널 커리 & KISS EBS 일정 72
9평이 다가와서 그런지, 댓글로 쪽지로 카톡으로 현강 문의가 많아 원래는 나중에...
-
김지혁 홍은영 4
현강과제 누가 더 적어요? 하루 한시간씩 공부하는데 모든기출이랑 병행하려면...
-
강옯 친구들 18
로직 파이팅 해설 못한 지문 촬영했으니 궁금한 부분 복습 영상 봅시다 시간 조절...
-
현강 추천츄천 4
김승리 끊고 고민중인데 하나만 추가한다면 뭐가낫나요 1.김은양 2.양승진 모의...
-
어쩌다 한 번 씩 가서 언급있나 눈팅하는데 마침 ㅎㅎ 수줍음이 많아 직접 댓글은...
-
하얗게 불태웠어 21
한 주 숙제만 47페이지 물론 어휘테스트도 많긴 함 ㅎㅎ + KISS 수능완성...
-
현강 처음 가는데 이원준쌤 토요일 2~5시 수업에서 앞자리 앉을려면 언제쯤 도착해야...
-
하이 가이즈, 션티입니다. 한.. 2월 중순부터일까요. 6월말까지 정말 매주매주...
-
이미지쌤, 유현지쌤 현강 어때요?? 현강은 예전에 주예지T 수업 한 번밖에 안가봐서...
-
6월 2주차 토오전 조정식 현강러분들... 저희 이번주 숙제가 뭐죠? 6월 2주차...
-
원래 이렇게 빨리 빠지나요? 강남러셀 홈피 들어가보니 학원접수랑 온라인접수 다...
-
26요청)오르비 후기(알바?) 믿지 마세요. 제발. 24
확실한 성적받고, 확실한 대학 합격한 선배님, 지인, 친구(현역말고 재수이상일경우)...
-
깡촌중 깡촌에 처박혀있는사람이라 현강 1~2주만 가보고싶은데 1~2주만은 안되겠죠 ㅠ
-
러셀 자리 예약 9
러셀 자리 예약이 편하긴 한가요?? 티켓팅처럼 빡센가요? 현강 가방줄 놓는 거보단...
-
시험 보느라 모두 고생하셨습니다. 혼틈을 이용해서 홍보.. 해보겠습니다. AB가...
-
[대치/강남오르비] 키쓸개 저자의 '반값' 강의 - KISS S2 개강 19
강남오르비 수업(매주 일요일 아침) 신청 링크...
-
현강 한번도 안들어본 반수생인데 국어가 고민이에요 반수라 6평 후부터 강의를 들을...
-
김동욱 모의고사 0
김동욱쌤 현강에서수업시간에 모의고사보나요?? 담주에 모의고사 본다고하셨는데...
-
부탁 ㅜㅜㅜ... 쌤들 수업방식이랴든자 제공되는 자료 알려주시면 감사하겠습니다 ㅠㅠ
-
미적2개 기벡1개 듣는거 무리일까요? 정시러이고 학교에서 수업시간에 자습하는거...
-
현우진 드릴 / 권경수 기벡 / 박종민 기벡 / 이창무 기벡 중에 뭐 들을까요?
-
지금 수업 어느 정도 나갔고 수업 수준 어느정도인지 아시나욥
-
잘 보이나요? 모니터 없는 쪽에 앉아도요,,?
-
일요일 아침 8시 ~ 타임인데 앞쪽자리 앉을려면 7시까지는 가야 앞쪽 앉겠죠,,?...
-
뭘 하면 좋을까요?? 20~30분 정도예요
-
어떤거 나갔고 뭐 주셨나요?? 복습영상도 주셨나요?
-
국어 현강 4
.
-
수학 가형 현강 4
.
-
엄소연T 나 박종민T 중에서 맞는 쌤 들을건데.. (일단 두분 다 등록했어요) 수능...
-
수학 가형 현강 기준이요! 그리고, 미2 3단원(여러가지 미분법) 양t와 차t 중...
-
저는 현 고2학생입니다. 이제 3학년때 시대 수학 정규 들을까 고민중인데요....
-
1. 킬캠 시험지는 수업 시간 전에 다 배포하는 건가요? 2.저녁 6시 30분...