amenable
Let $M_1$ be a complete Riemannian manifold with Riemannian covering $M_2\to M_1$ such that $M_1$ has a finite topological type, i.e., homotopy equivalent to a union of finitely many CW complexes. (manifold with finitely generated fundamental group for example.)
Theorem. If $\pi_1(M_1)/\pi_1(M_2)$ is amenable, then $\lambda_0(M_2) = \lambda_0(M_1)$.
Group이 amenable하다는 것은, 여러가지로 정의할 수 있는데, 이렇게 기하학적인 상황을 상정한다면, 가장 좋은 정의는 다음과 같다: In other words, there exists finite exhaustion subset $E_i$ of $\pi_1(M_1)/\pi_1(M_2)$ such that
$${\#(\partial E_i)\over \#(E_i)}\to 0,\quad\text{as }i\to \infty.$$
여기서 $\partial (E_i) = \{g\in E_i\mid g_j\cdot g\notin E_i\text{ for some }j\}$ 으로, $E_i$의 "boundary"에 해당된다. (Cayley graph에서는 진짜 boundary가 된다.)
Theorem을 증명하기 전에 여기서 $\lambda_0$는 Riemannian manifold위에 laplace-beltrami operator $\Delta$의 bottom eigenvalue에 해당된다. 이러한 $\lambda_0$ 값이 다음의 값과 같다고 알려져 있다:
$$\lambda_0(M) = \inf_f{\int_M\parallel df\parallel^2\over\int_M\parallel f\parallel^2}$$
여기서 $f$는 compactly supported smooth function on $M$을 말한다.
이제 이 두 사실을 이용해서 다음을 증명한다:
Proof. 일단 $M_1$의 $\pi_1(M_1)/\pi_1(M_2)$의 finite sided fundamental domain $F$를 고른다. 그리고 $g_1,\ldots,g_k$를 $\pi_1(M_1)/\pi_1(M_2)$의 generator들로 잡는데, 두개의 $F$의 copy들이 $\partial F$에서 겹치도록 $M_1$에서 나타나면 $g_i$의 원소들 중 하나가 하나의 $F$에서 다른 하나의 $F$로 옮기는 성질을 갖도록 한다. (이렇게 설명하니까 괜히 복잡한데, 쉽게 hyperbolic manifold의 세팅에서는 $F$는 Dirichlet domain들에 해당되고, $g_i$들은 그 domain을 형성할 때 사용되는 generator라고 생각하면 편하다.)
이제, $M_1$의 compactly supported smooth function $f$를 잡고, $\mathrm{supp}(f)$를 $F$로 lift를 시키자. 그리고 $\epsilon>0$을 충분히 작게 잡아서, 모든 $x\in\mathrm{supp}(f)$의 $\epsilon$-ball은 최대 $\partial F$의 component를 한번만 만나도록 한다. 그러면 이러한 가정에 의해서, 만약 $F_i = \bigcup_{g\in E_i}gF$ 라고 한다면,
$$x_i^\epsilon = \begin{cases} 1 & \text{if }\mathrm{dist}(x,\partial F_i)>\epsilon,\\ {1\over\epsilon}\mathrm{dist}(x,\partial F_i) & \text{o.w.} \end{cases}$$
는 잘 정의된 smooth function이 된다. 이제 $f$를 $M_2$로 lift를 하면, $f_i = x_i^\epsilon\cdot f$는 $M_2$의 compactly supported smooth function이 된다. 이제
$${\int_{M_2}\parallel df_i\parallel^2\over\int_{M_2}\parallel f_i\parallel^2}$$
를 계산하는데, 값을 구해보면, 만약 $A_i = \#(E_i), B_i = \#(\partial E_i),C_i = A_i - B_i = \#(E_i-\partial E_i)$라고 한다면, 분모는 $\geq C_i\int_{M_1}|f|^2$이고, 분자는 Schwartz inequality에 의해서
$$\leq{1\over\epsilon^2} B_i\int_{M_1}|f|^2+C_i\int_{M_1}\parallel df\parallel^2+{1\over\epsilon}B_i\left(\int_{M_1}|f|^2\right)^{1/2}\left(\int_{M_1}\parallel df\parallel^2\right)^{1/2}$$
가 된다. 따라서 계산하려는 식은 다음의 값으로 bound가 된다:
$$\leq {\int_{M_1}\parallel df\parallel^2\over\int_{M_1}|f|^2}+{B_i\over C_i}{1\over\epsilon^2}+{B_i\over C_i}{1\over\epsilon}\left({\int_{M_1}\parallel df\parallel^2\over\int_{M_1}|f|^2}\right)^{1/2}$$
가 된다. $E_i$의 성질에 의해서, $B_i/C_i\to 0$가 되고, 따라서 첫번째 텀 말고는 전부 죽는다. 따라서 $i\to\infty$로 해서 $E_i$가 $\pi_1(M_1)/\pi_1(M_2)$가 되도록 하면, $f_i$는 $f$로 수렴하고, 따라서
$$\lambda_0(M_2)\leq\lambda_0(M_1)$$
이 성립한다. $\geq$는 항상 성립한다고 알려져 있으므로* $\lambda_0(M_1) = \lambda_0(M_2)$가 된다. $\square$
*는 임의의 complete Riemannian manifold의 $\lambda_0$를 positive $\lambda_0$-harmonic function으로 represent될 수 있고, 임의의 positive $\lambda$-harmonic function은 항상 $\lambda_0\geq\lambda$가 된다는 성질로부터 나온다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
작9 1틀(수탐만점) 올6 3틀(수탐만점) 올9 미응시 과탐 원과목인데다가 물로켓인...
-
기숙학원 노래 4
기숙학원 들어왔는데 노래 들을 수 있는 팁 있나요? 오르비랑 인강사이트 빼고 다 막아둿네여ㅠㅠㅠㅠ
-
게임 기획 쪽 희망하고 내신은 일반고 4.11입니다..!! 담임쌤이 알아서...
-
의대는 물건너간거 겠....죠?
-
어려울 거라고 각오는 했는데 저같은 똥대가리가 풀기에 생각보다 더 빡시네요...
-
“가베스판” 먹으셈 낙원을 누리는중 방구를 못껴서 그런가 자꾸 배에서 천둥소리 남
-
생기부가 거의 컴퓨터로 채워져있는데 미적분 선택을 안하고 기하만 선택해서...
-
적분 초보운전 1
에잉쯔
-
https://m.medigatenews.com/news/2543051830...
-
지금 쓰려고 하는게 고대 철학or사학 (추합) 서울대 역교과 외대 마인어 (추합)...
-
야발 집중이안돼 2
걍 공부하는법까먹음
-
크닐이네 0
왜 9판을 안 팔지..슨배림들이랑 중고거래 무서운데
-
1학년 끝나고 1학년 성적순으로 세부전공 정할수 있는건가요?? 아니면 성족애...
-
1일 1실모 한다는게 평가원 6모 9모 수능 기출을 하루는 2020 6모 풀기...
-
침샘 폭파마렵
-
생윤 사문 노베 입니다 다른 과목 공부하다 보니 하나도 못했습니다 뭐부터 하면...
-
수시는 그냥 뽑고 정시만 줄이자고??? 이거 뭐하자는거임?
-
고등학교 다닐 때 주변애들이 다 수학 잘해서 내 수준 파악 못하고 고2 모고 3등급...
-
기현쌤 확통 기생집 4점 살려는데 ebook밖에 판매를 안하더라구요 .. 보니까...
-
원서접수 끝나서 하는말인데 투과목 버프는 상상 이상임 2
서울대 목표다? 걍 닥치고 투과목 해야됨 진짜 작년 기준으로도 국수 적당히 봤는데...
-
영어 0
영어 공부를 고1 이후로 아예 안 해서 3컷더간신히 드는 허수입니다. 이제 더 이상...
-
지금 풀어도 좋을 실모린가요???
-
거의 새 책인데
-
기쀼당
-
최저 0
3모부터 수학은 33333 국어는 44433 안정 3에서 2까지는 맞아야 할 것...
-
수학 전국 서바 푸는데 점수가 너무 안 나오네요..
-
일반화의 오류는 있지만 사실 가장 빠른 방법임. 강사도 피해야하고, 학생도 피해야하는 학원이라 봄
-
부산대의대 1
3합4에 과탐은 1,2면 2취급인데 최저 많이 맞출까???? 지역인재임
-
올해는 ㄹㅇ 했어야 되는거 같은데 시간단축 <- 이 사기광고에 당했다
-
정신과 검진기록 같은거 하나도 없는 사람이 가면 대략 얼마정도 나오나요?
-
강의 잘하는 강사가 1타 먹으란 보장이 없음 ㄹㅇ ㅋㅋㅋ
-
95일차
-
화학러 컴온! 0
화학 고난도 n제 추천 바랍니다(단원별 n제) 9모는 50인데 16번 보고 싸함을...
-
잇올에서 구매할려해도 2회차 까지밖에 없는데 어캐 구하나요 ㅠㅠ? 10회차 다 풀고...
-
순서상으로 어삼쉬사가 먼저 맞나요? (보통 기출다음 n제 아닌가..) 어삼쉬사도...
-
확통 메가스터디로도 이해안갔던거있는데 ebs 확통개념 들으니까좀 알거같던데
-
난 이미 목표하는 대학을 갔겠지? 시발
-
사주 0
메디컬 쪽에서 일해야 하는 사주 있으신 분 중에 메디컬 말고 그냥 다른 거 꿈꾸시는...
-
물로켓국어의 유일한 순기능: 무조건 수능 3컷 예약했다고 체념은 안하게 해줌
-
모의지원 돌려보는데 가산점 5점 파워가 말도 안되네요 내년엔 투투로 간다
-
기하 1컷 이거 오타라고 봐도 되겠죠?
-
최저를 위해 달려가고 있는 대학생1입니다. 수능공부 시작한지 일주일도 안됐는데...
-
구글 광고 띄우기멈처
-
영어는 유치원때부터 오랫동안 공부했고 고3 5모때까지는 항상 1~2개 틀리거나...
-
카이스트 학추 쓰려고 하는 현역 고3입니다. 과기원은 다른 대학과는 다르게 정시...
-
궁금 설의는 사실상 원원으로는 불가능일거 같은데 약은 애매하다 느껴서
-
히히 기쁘당 4
문학 푸는 시간이 점점 줄어들고있다는
-
Keep that node 다음 기약 Drop wet soul 슬픈 생각 umm...
-
이젠 걍 돈내놓으라고하네 ㅋㅋㅋ
-
의대생이었으면 안쪽팔렸을텐데
첫번째 댓글의 주인공이 되어보세요.