amenable
Let $M_1$ be a complete Riemannian manifold with Riemannian covering $M_2\to M_1$ such that $M_1$ has a finite topological type, i.e., homotopy equivalent to a union of finitely many CW complexes. (manifold with finitely generated fundamental group for example.)
Theorem. If $\pi_1(M_1)/\pi_1(M_2)$ is amenable, then $\lambda_0(M_2) = \lambda_0(M_1)$.
Group이 amenable하다는 것은, 여러가지로 정의할 수 있는데, 이렇게 기하학적인 상황을 상정한다면, 가장 좋은 정의는 다음과 같다: In other words, there exists finite exhaustion subset $E_i$ of $\pi_1(M_1)/\pi_1(M_2)$ such that
$${\#(\partial E_i)\over \#(E_i)}\to 0,\quad\text{as }i\to \infty.$$
여기서 $\partial (E_i) = \{g\in E_i\mid g_j\cdot g\notin E_i\text{ for some }j\}$ 으로, $E_i$의 "boundary"에 해당된다. (Cayley graph에서는 진짜 boundary가 된다.)
Theorem을 증명하기 전에 여기서 $\lambda_0$는 Riemannian manifold위에 laplace-beltrami operator $\Delta$의 bottom eigenvalue에 해당된다. 이러한 $\lambda_0$ 값이 다음의 값과 같다고 알려져 있다:
$$\lambda_0(M) = \inf_f{\int_M\parallel df\parallel^2\over\int_M\parallel f\parallel^2}$$
여기서 $f$는 compactly supported smooth function on $M$을 말한다.
이제 이 두 사실을 이용해서 다음을 증명한다:
Proof. 일단 $M_1$의 $\pi_1(M_1)/\pi_1(M_2)$의 finite sided fundamental domain $F$를 고른다. 그리고 $g_1,\ldots,g_k$를 $\pi_1(M_1)/\pi_1(M_2)$의 generator들로 잡는데, 두개의 $F$의 copy들이 $\partial F$에서 겹치도록 $M_1$에서 나타나면 $g_i$의 원소들 중 하나가 하나의 $F$에서 다른 하나의 $F$로 옮기는 성질을 갖도록 한다. (이렇게 설명하니까 괜히 복잡한데, 쉽게 hyperbolic manifold의 세팅에서는 $F$는 Dirichlet domain들에 해당되고, $g_i$들은 그 domain을 형성할 때 사용되는 generator라고 생각하면 편하다.)
이제, $M_1$의 compactly supported smooth function $f$를 잡고, $\mathrm{supp}(f)$를 $F$로 lift를 시키자. 그리고 $\epsilon>0$을 충분히 작게 잡아서, 모든 $x\in\mathrm{supp}(f)$의 $\epsilon$-ball은 최대 $\partial F$의 component를 한번만 만나도록 한다. 그러면 이러한 가정에 의해서, 만약 $F_i = \bigcup_{g\in E_i}gF$ 라고 한다면,
$$x_i^\epsilon = \begin{cases} 1 & \text{if }\mathrm{dist}(x,\partial F_i)>\epsilon,\\ {1\over\epsilon}\mathrm{dist}(x,\partial F_i) & \text{o.w.} \end{cases}$$
는 잘 정의된 smooth function이 된다. 이제 $f$를 $M_2$로 lift를 하면, $f_i = x_i^\epsilon\cdot f$는 $M_2$의 compactly supported smooth function이 된다. 이제
$${\int_{M_2}\parallel df_i\parallel^2\over\int_{M_2}\parallel f_i\parallel^2}$$
를 계산하는데, 값을 구해보면, 만약 $A_i = \#(E_i), B_i = \#(\partial E_i),C_i = A_i - B_i = \#(E_i-\partial E_i)$라고 한다면, 분모는 $\geq C_i\int_{M_1}|f|^2$이고, 분자는 Schwartz inequality에 의해서
$$\leq{1\over\epsilon^2} B_i\int_{M_1}|f|^2+C_i\int_{M_1}\parallel df\parallel^2+{1\over\epsilon}B_i\left(\int_{M_1}|f|^2\right)^{1/2}\left(\int_{M_1}\parallel df\parallel^2\right)^{1/2}$$
가 된다. 따라서 계산하려는 식은 다음의 값으로 bound가 된다:
$$\leq {\int_{M_1}\parallel df\parallel^2\over\int_{M_1}|f|^2}+{B_i\over C_i}{1\over\epsilon^2}+{B_i\over C_i}{1\over\epsilon}\left({\int_{M_1}\parallel df\parallel^2\over\int_{M_1}|f|^2}\right)^{1/2}$$
가 된다. $E_i$의 성질에 의해서, $B_i/C_i\to 0$가 되고, 따라서 첫번째 텀 말고는 전부 죽는다. 따라서 $i\to\infty$로 해서 $E_i$가 $\pi_1(M_1)/\pi_1(M_2)$가 되도록 하면, $f_i$는 $f$로 수렴하고, 따라서
$$\lambda_0(M_2)\leq\lambda_0(M_1)$$
이 성립한다. $\geq$는 항상 성립한다고 알려져 있으므로* $\lambda_0(M_1) = \lambda_0(M_2)$가 된다. $\square$
*는 임의의 complete Riemannian manifold의 $\lambda_0$를 positive $\lambda_0$-harmonic function으로 represent될 수 있고, 임의의 positive $\lambda$-harmonic function은 항상 $\lambda_0\geq\lambda$가 된다는 성질로부터 나온다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
모교에서 접수했는데 교부일 등이 공란이네요 평일에 한번 확인해볼까요 일단 도장이랑...
-
정답은 2번
-
ㄷㄷㄷㄷㄷ 이게맞나...
-
오르비는 참 1
따뜻해 잠시 잊고살았어 ㅎ 아닌가
-
9모 92( - 28 30) 입니다 ㅠ 30번 거의 50분동안 풀었는데 못 푼거...
-
30은 능지 + 시간 부족 문제로 풀 수가 없었습니다
-
[Team. KUKLL] 기습 국어, 학습 관련 질문 받습니다. 15
필자들 경력 국어 모의고사 백분위 평균 99, 22수능 1틀 과외 수강생 현재...
-
어느정도로 예측되나요 중간2?
-
물론 자기가 생각하기에 goat 인 물리1 n제를 배출하고 가세요 ~ 된다면 지1도...
-
막상 다시 보니 그리 엄청 어려운건 없는데 걍 공부 많이 해서 그런거겠죠? OZ...
-
9평으로 최저 봐야되는데 수학이 백분위가 69->76으로 올라서 3이 되긴했는데 걍...
-
물론 이번엔 국수 둘다 핵물이라 표점 스케일 자체가 엄청 작아지긴 했는데 보통 둘중...
-
있으신가요? 자작문항 만들때 참고하겠습니다 그리고 아마 내년에 N제...
-
아님 더프 안봄? 분러재종 다니는 친구는 이퀄 본다하길래.. 그리고 9덮 공지사항에...
-
뭘 공부해야할까요.. 4점이요.. 공통이랑 확통 중에 2~3개 더 맞으면 안정 3뜰...
-
저는 08(현재 고1) 정시파이터입니다. 저는 이번 고1 9모 40점나왔습니다.....
-
전형태 ebs 파이널 언매 들을까요 강e분 들을까요? 1
둘다 들어보신분 계신가요 ㅊㅊ좀해주세요
-
자칭 키 185 한양대의대 .. 모델급비율과 얼굴 … 영어 칼럼까지 싸재끼다가...
-
세계지리 1
이번 9모 기억에 남는 문제 있었나요 저는 15번
-
운이 좋았다
-
근데 사탐이랑 과탐이랑 뭐가 꿀이고 이런 비교를 왜 하지 0
애초에 전국 대부분 메디컬 못 쓰고 고대도 못 쓰고 표점이 75떠도 별로 안 부러운데
-
원래 서킷만 좀 따로 중고로 살까 싶었는데 걍 풀패키지로 다 샀습니다 강의가...
-
교점구하고 구하는거 보니까 상수항 필요없길래 그냥 연립해서 뚝딱햇는데 바부라 뭔지모르겟슴...
-
진짜 개괜찮은것같음. 개념과 문제 사이의 괴리가 딱 지1만큼만 있는듯. 그러면서도...
-
50퍼 중반 이상이면 추합으로 붙는건가요?
-
올해 최악의 커로였지만 커하는 수능에서 찍을거란 마인드
-
수1,2 엔티켓 시즌2랑 4규 시즌1중에 어떤게 더 어렵나요? 엔티켓 시즌1은...
-
수학 문제풀이의 근간이긴 한데 이게 전부는 아님... 일부만 만족하는 경우 먼저...
-
공부 재미 1
9모보기 하루전부터 설맞이 시작했는데 왠지모를 자신감이 막 생겨나는데 괜찬은거...
-
투데이가 평소보다 높네요
-
둘다 히려면 뭐먼저 하는게 더 나은가요??
-
15번 자작 8
겉보기 난이도는 MAX지만 실질난도는 min인.. 첫 정답자 1000덕 예전에 만든거에요!
-
군인 아저씨 특 16
아저씨 아님
-
수요가 있을까요? 강의식 말고 피드백 형식으로 내신 기간 풀로 계획짜주고 매일매일...
-
노베 기적일지 D-69 “내 자신에 대한 확신을 잃으면 온 세상이 나의 적이 된다“...
-
고3꺼는 백임 근데 고2가 92임 ㅅㅂㅜㅜㅜㅜㅜ 계산실수로 박음……30분? 남았는데...
-
친구랑 11
노래부르는데 막곡으로 이등병의 편지 부르니 나 혼자만 우울하다..
-
14×2번 자작 8
14번..이 되기엔 미적분과정이 포함된 14×2번으로 수정 .. 예전에 만든 큐티한...
-
안녕하세요 일반고 고3입니다 제가 6모 치고 사탐런을 하였는데 본격적 공부는...
-
저는 피램으로 문학 기출들 이제 한두바퀴 정도는 돌린거 같은데 이제 뭘 해야할지...
-
"세상이 체계적으로 돌아간다" << 착각계 GOAT 19
난 어릴때 막 공무원이나 외교관 어디어디 협회 진흥회 이런데가 그래도 사람들이...
-
"병먹금" 4
입시끝내기<임마 어떻게 지금까지 싸지르는 글마다 내용이 똑같지 너무 밑천보이는...
-
오르비 차단하면 12
그사람도 제 게시글이나 댓글같은거 못보는건가여 이상한분이 한분 있어서
-
잇올 끝나고 카톡을 보니 요아소비콘 스탠딩석을 잡아줬어 으엉엉 ㅠㅠㅠㅠ 진짜 겁나 뽀뽀해주고 싶네
-
작년 브릿지 받았는데 푸는게 도움이 될까? 브릿지 올해꺼랑 차이 많이 남?
-
수험생이 지녀야할 기본기라 그런가 고1 수학 때문에 강좌 만드신분들도 꽤 있는데......
-
영어가제일걱정이네ㅁㅊ
-
오지훈쌤 너무 사랑스러워짐 수능 끝나면 함 찾아가서 포옹하고 싶다 지훈이햄… 하
-
김성은 선생님으로 3등급까지 끌어올리고 현우진으로 갈아탈려는데 어떤가요 형님들?
첫번째 댓글의 주인공이 되어보세요.