엄밀한 수학(1): 구간 별로 정의된 함수의 미분 가능성
얼마나 오래 갈 지는 모르겠지만, 고등 수학에서 빈번하게 다뤄지는 몇 가지 주제에 대하여 조금 엄밀하게 다뤄보는 글을 쓰려고 합니다. (주제 추천 받아요.)
엄밀한 수학이지만, 수학을 전공하지 않은 고등학생 정도의 수학 지식을 갖고 있는 분들도 최대한 이해할 수 있도록 써 보려고 합니다.
첫 번째 주제는 [구간 별로 정의된 함수의 미분 가능성] 입니다.
[2021학년도 9월 모의 평가 10(나)]
위 문제와 같이 구간 별로 정의된 함수의 미분 가능성을 묻는 경우, 미분 가능성의 정의보다는 대부분 다음 두 가지 식의 연립으로 해결합니다.
(i)은 [미분 가능하면 연속이다.]의 성질을 이용하여 각각의 식에 1을 대입하여 같다고 놓고 구합니다.
(ii)는 각각의 식을 미분하고 1을 대입하여 같다고 놓고 구합니다.
(i)은 자명합니다. 문제가 되는 부분은 (ii)의 논리입니다. (ii)는 "도함수는 x=1에서 극한값이 존재한다."는 것을 의미합니다. 이를 엄밀하게 규명하기 위해 몇 가지 명제를 떠올려봅시다.
명제1: "미분 가능하면 도함수가 연속이다."
수학을 조금 깊게 공부해 본 성실한 고등학생이라면 위 명제1이 거짓임을 알고 있을 것이고, 또 그 중 대다수는 그의 반례도 알고 계시리라 생각합니다. (단, 그 역은 성립하죠.)
그렇다면 결론부의 조건을 조금 더 약화시켜 생각해봅시다.
명제2: "미분 가능하면 도함수의 극한값이 존재한다."
명제2 역시도 명제1의 반례로 어렵지 않게 거짓임을 보일 수 있습니다.
그럼, (ii)의 등호가 성립함을 보장해주는 근거가 되는 명제는 무엇일까요? 우리는 미분 가능한 함수에 대하여 그의 도함수의 극한값이 존재한다는 것은 알 수 없지만, 최소한 문제 조건으로부터 도함수의 좌극한과 우극한이 각각 존재한다는 것을 알 수 있습니다. 즉, 다음 명제를 생각해볼 수 있겠습니다.
명제3: "미분 가능하고 도함수의 좌극한과 우극한이 각각 존재하면 도함수의 극한값은 존재한다."
위 명제3이 참이라면, 우리의 최종 목적인 (ii)의 논리적 근거를 마련할 수 있습니다. 위 명제3의 참을 설명해주는 것이 바로 다르부 정리(Darboux's Theorem)입니다.
고등학생이 이해할 수 있는 언어를 기반으로 다르부 정리의 내용을 살펴봅시다. (증명은 "Introduction to Real Analysis by Robert G. Bartle"을 참고했습니다.)
다르부 정리 (Darboux's Theorem)
: 함수 f가 닫힌 구간 [a, b]에서 미분 가능하고 k가 f'(a)와 f'(b) 사이에 있을 때,
f'(c)=k를 만족시키는 c가 열린 구간 (a, b)에 존재한다.
즉, 미분 가능한 함수의 도함수는 사잇값 정리의 결론을 만족시킵니다.
[증명]
미분 가능한 함수 g를 다음과 같이 정의합시다.
g가 연속이므로 최대-최소 정리에 의해 닫힌 구간 [a, b]에서 최댓값을 가집니다.
이므로
g는 x=a에서 최댓값을 갖지 못합니다. 이와 비슷하게, x=b에서도 최댓값을 갖지 못합니다.
즉, 닫힌 구간 [a, b]의 경계에서는 최댓값을 갖지 못하므로 최대가 되는 지점을 x=c라 할 때, c는 열린 구간 (a, b)에 존재합니다. 따라서 다음이 성립합니다.
Q.E.D
다시 우리의 원래 목적으로 돌아가서, 위 다르부 정리에 의해 미분 가능한 함수의 도함수가 좌극한과 우극한이 각각 존재한다면 반드시 그 두 값이 같아야 합니다. 그리고 더 나아가 그 지점에서 도함수는 반드시 연속이어야 합니다. 이 명제3을 다르부 정리에 의해 더 강한 조건으로 바꿔 다음 명제4가 참임을 알 수 있습니다.
명제4: "미분 가능하고 도함수의 좌극한과 우극한이 각각 존재하면 도함수는 그 지점에서 연속이다."
처음의 문제에서 f'(x)의 x=1에서 좌극한과 우극한이 각각 존재하므로 위 명제4에 의해서 f'(x) x=1에서 연속입니다. 따라서 (ii)의 등호가 성립합니다!
제 글이 그닥 많은 사람들이 읽지는 않지만 ㅎㅎ;; 개인적으로 정리해보고 싶었던 주제였습니다. 조금이나마 도움이 되셨으면 좋겠습니다. 감사합니다:)
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
풀어주시면 올해수능 대박나실껍니다 충성충성^^7
-
독서는 너무 궤가 다르던데 00년대 후반부터 10년대 초반까지는 문학만 푸는건 괜찮으려나
-
스읍
-
컨셉인줄 알았는데 ㄹㅇ이네요.. 뭐지 이거 단대가야하는데 ㅠㅠ
-
고전시 현대시 당장 수특 사용설명서랑 다른 해석이 몇개임ㅋㅋ 해석으로 낼꺼면 보기를 똑바로 줘야지
-
존맛입니다
-
화작확통영어한국사생윤사문 141311 이고, 인문논술 지원해보고 싶습키다!! 이...
-
눈이 막 감겨요
-
서울대 수리과학부 정병호 96학번 강호길 96학번 배성민 98학번 박종민 03학번...
-
윤성훈t:악성민원인은 지위가 아니지만 민원인은 지위가 될 수 있다 조교의...
-
논술 노베인데 부산대 인문논술 어떻게 준비해야할까요? 0
어쩌다보니 선택지가 논술밖에 없어서 이제서라도 논술좀 공부해보려는데 부산대 논술은...
-
2009년 9평 문학 문제를 쳐보라해서 쳤는데 다틀렸음 출제방식도 완전다른데 내가...
-
지금은 엠스킬 배워서 이리 푸는데 잘 안보여요.. 다 좋은데 가독성이 떨어지는데요...
-
답지 잃어버려서 채점을 못하는중.. 빠른정답이라도 있는사람
-
도쿄 사진 + 보정 20
2023년 1월이었나 가서 찍었는데 이것도 거의 2년이 다되가는군뇨... 내년에 또 갈 수 있길
-
예상보다 빠르게 docs로 나올 수 있었네요! 제본하실 분들은 컬러로 인쇄하셔야...
-
인하vs세종 1
인문 논술 쓸건데 인하랑 세종 둘 중에 어디가 입결 높아요???
-
혀엉…..흐으으으으으으으으으으으으으으으으으으으으으으으으으으으으으으으으으으으으으으으으으...
-
국어 시급 7만원 주1회 2시간 장소대여비 +6만원 수학 시급 7만원 주 몇회인진...
-
1번선지 해설지들 보면 자신이 아니고 바람이기 때문에 틀리다고 해설되있는데,...
-
멜로디 개좋네 진심 ㅋㅋㅋㅋㅋ
-
개인 일정상 시험날 당일에는 쓱 보기만 하고 수업 전에 처음으로 분석한 흔적입니다...
-
25년 9월 평가원 공통 난이도 ** 미적 난이도 **** 2~3등급 10, 14,...
-
다들 어떤 앱으로 만드셨나요 걍 블로그 찾아보면서 할까?
-
탈릅할거에요
-
나라면 탈릅안하고 입시했을 땐 이랬지 ~ 이런 식으로 추억으로 남겨둘 것 같은데
-
개짬찌라 슬프네요 흑흑
-
수요일부터징 특이하네..
-
하지만 2년 전 과는 달리 올해 이 두과목을 했다간 3등급도 못뜰거같아서 울며...
-
현실적으로 지금 올해 의대 정원 건드리는 거 가능함? 2
오늘부로 원서 접수 시작했고 당장 이번주 금요일이면 수시 접수 끝날텐데 이거...
-
영어 해석 0
영어황 분들 해석 능력 단기간에 올릴 수 있는 방법 (강의,문제집) 좀 알려주세요...
-
수학 - 고1 3모 문제 일부 그대로 국어 - 나름대로 모고 형식대로 한 것 같은데...
-
크롬옯을 씁니다 빠르고 좋네요 앱르비는 아직 불편
-
안녕하세요 여러분 기존에 예정되었던 자료 배포 일정보다 아주 매우 빠르게 마무리가...
-
https://m.blog.naver.com/minjune98/223549950351...
-
화가난 상태라 글에 욕이 많으니 이점 양해해주세요 작수 생명 밀려써서 21327떠서...
-
그게 궁금하다고!!
-
실모 잘침 << 캬 이궈궈둰 오르비에 자랑하러가야징 실모 조짐 << 헐 내 약점을...
-
화1특) 2
1) 풀때는 별생각 없었는데 나와서 애들 여론보니까 킬러였음 2) 다시보니까...
-
( "2025년도 의대 증원 취소 촉구"…의대교수들 삭발·단식 투쟁, "..사직할 수밖에" ) 0
P윤석열과 보건복지부는 대책없이 졸속으로 추친한 의대증원이 현재 국민 생명을...
-
메가에서 미적 선택자중에 원래 94%가 과탐 2개였는데 이제 74%가 과탐...
-
국어 실제 시험이랑 따로 문제 푸는거랑 괴리가 너무 크다…. 0
실모 하다보면 늘겠지…!
-
같은 페이스로 뛰어도 어느순간 내가 점점 뒤쳐짐 ㅋㅋㅋㅋㅋ 진짜 오래 뛰신 분들은 보법이 다르네
-
???: 왜 6장을 다 논술로만 채우려고 하나요? ㄴ 그야 내신으로는 지금 학교도...
-
4합5쓰는데 국어불이라는 전제가 있어야 1뜰수있는데
-
접수자 48000 응시자 42000~43000 예상
-
메가스터디: 9모 미적사탐 지난해 4.1%에서 올해 11.6%로 늘어 4
메가스터디교육 풀서비스 이용자 중 수리 미적분 선택자의 탐구영역 선택 과목 조합을...
-
그건바로나
-
의료수가 조절 힘들고 싫으면 세금을 올리면 그만 아님? 특정과 특정소득 이상이면 증세를 진행시켜
-
9월 4일에 시행된 25학년도 9월 모의평가 수학의 난이도는 작년 수능, 올해...
슈크란