미분가능성-개념탄탄하신분
그림과같이 도함수가 저렇게 생겨있다면 x는 1에서 미분가능할까요?
우미분계수=좌미분계수=0 이므로 미분가능할껏같기도한데
x=1에서 미분계수 f'(1)=우미분계수=좌미분계수 아닌가요?
그럼 2=0=0 되버리는데
1.무엇이 논리적으로 잘못되는지 알고싶습니다.
2.또한 도함수가 저렇게 생겼으면 미분가능할까요?
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도함수가 x=1에서 연속이 아닙니다.
즉, lim(x->1)f`(x) = 0 은 맞는데 f`(1)은 정의되어있지 않기때문에 lim(x->1)f`(x)≠ f`(1) 입니다.
f`(1)이 정의되지 않기때문에 f(x)는 x=1에서 미분불가능입니다.
1. 도함수 f`(x)가 x=1에서 연속이 아니기때문에 f`(1)=우미분계수=좌미분계수가 성립되지 않습니다
2. f(x)는 x=1에서 미분불가능합니다
헐ㅋㅋ(1,2) 점찍혀잇는거구낰ㅋㅋ왜못봣짘ㅋㅋ
연속이 아니네요;;.. 미분 가능하면 연속이다.의 명제의 대우는 불연속이면 미분불가능하다. 위의 그래프는 불연속이므로 미분 불가능.
그건 원래 함수 일때 아닌가요? 이건 도함수요
http://orbi.kr/bbs/board.php?bo_table=xi_orbi_mat&wr_id=21347
예전 오르비에서 답을 찾았네요
문레기라 이해는 잘 못하겠지만 결론은 도함수의 연속과 함수의 미분가능성은 관련없다 같네요
교과과정에서 구멍 뚫린 도함수를 다루지 않아서 연속이라는 더 큰 범위로 설명할 뿐 위 경우는 도함수가 존재하므로 미분가능합니다.
f'(1)=2
실제로 저런 도함수는 존재할 수 없습니다.
하지만 출제자의 내공 부족으로 저렇게 출제가 된다면 "미분가능하다."라고 판단해줘야 합니다.
왜냐하면 위의 박근우님 말씀대로 f'(1)이 존재하기 때문이죠.
저 그래프에서 알수있는것은 f'(1)=2 이기 때문에 좌미분계수(평균변화율의 좌극한), 우미분계수(평균변화율의 우극한)가
모두 2라는 것입니다. 글쓴이께서 계산한건 좌미분계수가 아니고 "도함수의 좌극한값"입니다.
댓글을 여기까지 내려야만 정상적인 답글이 보이다니 ㄷㄷ.. 정말 정확한 답변.. 저런 도함수가 존재할 수 없는건데 ㅎㅎ
즉
x=1에서의 우미분계수= lim(x->1+0) f(x)-f(1) / x-1
이고
x=1에서의 도함수의 우극한 = lim(x->1+0) f'(x)
인데 둘은 명백히 다르다는 것이고, 당연히 미분계수의 정의로 미분계수를 구할 때는 위의 정의를 활용해야하는것이죠.
되게 유명한 함수인데
f(x)
=
(x=0) 0
(x=/=0) x sin(1/x)
f(x)
=
(x=0) 0
(x=/=0) x^2 sin(1/x)
... 이런 것들의 x=0에서의 미분계수도 구해보고 도함수의 연속성도 확인해보고 하세요.
아 그러니깐 우미분계수가 도함수의 우극한과는 다른개념이며 명백히 f'(1)=2 이여서 도함수의 연속과는 별도로 미분가능하다는 말씀이군요.감사합니다
미분함수가 빵꾸가 뚫릴순 있어도 저렇게 미분값이 따로 존재할순 없어요 저런 그래프의 원함수 그려보세요 못그려요
그리고 빵꾸만 뚫리면 미분가능함
그림이 참 멋쩌열
교육청인지는 모르겠는데 실제로 저렇게 문제 나온적 있습니다. 그리고 답도 미분 가능하다 였고요. 저거랑 똑같은 함수였는걸로 기억나네요
f ' (1)=2 로 1에서 미분가능합니다.
기출에 출제된 바 있습니다.
4점짜리로 기억합니다.
저렇게 도함수 그릴 수 잇는 함수가 어떻게 생겻는지 궁금하네요 ㄷ
난만한씨가 잘 지적해주셨는데요.
대학교 2학년 해석학 시간에 Darboux의 정리(사잇값 정리를 보다 일반화한 것입니다.)란 것을 배우면
"이런 도함수는 존재할 수 없다"는 것을 이해할 수 있습니다.
만약 모의고사에서 이런 문제가 출제되었다면 출제자가 문제를 잘못 출제하신 겁니다.
다만 도함수가 불연속인 경우는 존재할 수 있는데요.
이 경우 함수가 대단히 심하게 진동해야 돼요.
보통 이런 함수를 가리켜서 병리적 함수(pathological function)라 부르죠.
미분계수를 정의할 때 등장하는 좌미분계수와 우미분계수가 일치해야 한다는 개념과
도함수의 우극한과 좌극한이 일치해야 한다는 것은 서로 다른 별개의 개념입니다.
미적분학을 열심히 공부하다보면 한 번 정도 이 둘을 명확히 구분하기 위해서 머리가 지근지근 아파야 합니다. 일종의 성장통이죠. ㅎㅎ