(수학) "고난도 문제 치트키 2" 공개!!
안녕하세요. 어수강 박사입니다.
오늘은 "거의 모든 문제에 즉각 적용 가능한 치트키 2"에 대해 포스팅하도록 하겠습니다.
1. 먼저, 아래의 문제에 대해 생각해 봅시다.
이 문제에 대해 별 고민 없이 "4차식"이라 하면 안됩니다. 왜냐하면 위 식은
1. x, y를 모두 문자로 생각하면? 4차식
2. x만을 문자로 생각하면? 3차식
3. y만을 문자로 생각하면? 1차식
이기 때문입니다. 즉, 다항식은 무엇을 문자(또는 미지수나 변수)로 생각하는지에 따라서 차수가 달라집니다.
PS. 스포?하자면 수학 (상), 수학 2에서는 다항식만 다루죠? 차수가 달라지면 풀이도 달라집니다. 따라서 "수학 (상)", "수학 2"에 등장하는 거의 모든 대상에 대하여, 무엇을 문자로 볼지에 대한 고민을 해야 합니다!! 이에 대해 예를 통해 알아보도록 하겠습니다.
2. 다항식의 차수가 달라지면? 사용할 수 있는 성질도, 풀이도 달라지게 됩니다! 아래의 문제를 살펴봅시다.
[예제2]에 주어진 식은
1. m, n을 모두 문자로 생각하면? (자연수 조건이 있는) 부정방정식
2. m만 문자로 생각하면? 일차방정식
3. n만 문자로 생각하면? 이차방정식
입니다.
그런데 부정방정식, 일차방정식, 이차방정식의 해법이 모두 다르기 때문에 무엇을 문자로 보는지에 따라 풀이가 달라질 것입니다.
(1). m, n을 모두 문자로 생각하면 풀이는 다음과 같습니다.
(2). m만을 문자로 생각하면 일차방정식의 해법에 따라 다음과 같이 풀 수 있습니다.
(3). n만을 문자로 생각하면 이차방정식이므로 풀이는 다음과 같습니다.
[예제2]에서 m, n을 모두 문자로 생각한 [풀이1]이 가장 쉬워 보일 수도 있지만, 2n^2-mn+m=0을 (2n-m+2)(n-1)=-2와 같이 변형하는 것을 어려워하는 학생들이 많습니다. 이와 같은 변형이 생각나지 않는다면 관점을 바꿔야 합니다. 이때, n만 문자로 생각해서 이차방정식을 푸는 것보다는 m만 문자로 생각해서 일차방정식으로 푸는 게 쉬울 가능성이 높겠죠?
"[예제2]와 같은 문제는 이렇게 푸는 거야!"라고 유형화하기보다 "무엇을 문자로 생각해야 하는지"에 대해 고민하는 습관을 기르는 것을 강력하게 권장합니다!
3. 한 문제 더 살펴볼까요?
위 문제에 대한 풀이는 아래와 같습니다.
이 문제에서의 핵심은 풀이의 "위의 식 (4)에서 무엇을 문자로 볼 것인가?"입니다. 상위권 학생들조차도 손 나가는 데로 풀다가 한 번에 풀리지 않으면 당황하기 쉬운데, (4)에 주어진 식이 t에 대한 이차방정식임을 알아낸다면 무척 쉽게 풀 수 있습니다.
다항식에 대한 모든 문제를 유형화하는 것은 무척 어렵지만, 다항식에 대한 모든 문제에 대해서 무엇을 문자로 볼 것인지 생각하는 것은 그리 어렵지 않습니다. 그런데 수학 (상), 수학 2에서 다루는 거의 모든 대상이 다항식이므로 "무엇을 문자로 볼 것인지 생각"하는 것은 매우 유용합니다. 그뿐만 아니라, 이 과정에서 내가 무엇을 문자로 생각했는지, 이 경우에 문제가 쉽게 풀리는지, 쉽게 풀리지 않는 경우 다시 무엇을 문자로 생각할지에 대해 고민한다면 논리적 사고 능력과 메타인지 모두 발달할 것입니다.
4. "무엇을 문자로 볼 것인지"는 다항식에서만 중요할까요? 아래의 문제에 대해 생각해 봅시다.
학생들에게 [예제4]를 풀어보라고 하면, 무엇을 문자로 볼 것인지에 대한 고민 없이 f(4)부터 하나씩 구하기 위해 n=4를 대입하는 것으로 풀이를 시작하는 경우가 많습니다. 아마도 "이런 문제는 이렇게 푼다고 유형화"했기 때문이겠죠? 하지만 n부터 생각하면 n=4, 5, ... , 25의 21가지 경우를 생각해야 할 뿐만 아니라, 각각의 경우에 a의 값을 변화시키면 분모와 분자가 모두 변하기 때문에 당황하여 제대로 풀지 못할 가능성이 높습니다.
반면, 무엇을 문자로 볼 것인지에 대해 고민하는 것으로 풀이를 시작한다면, 아래와 같이 쉽게 해결하는 경우가 많습니다.
문자는 다항식에서만 나오는 것이 아니죠? 지수나 로그, 삼각함수 등에서도 문자를 포함한 식을 찾는 것은 어렵지 않습니다. 문자 없이 상수만 있는 고난도 문제는 거의 없습니다.
조금 과장하면, 고난도 문제는 두 가지 유형뿐입니다. (문자가 한 개 이하면서 식도 간단하다면? 당연히 쉬운 문제겠죠?)
1. 문자가 여러 개이거나
2. (문자가 하나지만) 식이 복잡하거나
이중, 문자가 여러 개인 경우에 무엇을 문자로 볼지에 따라서 주어진 대상이 속하는 집합이 달라지게 됩니다. 그러면 사용할 수 있는 성질도, 풀이도 달라지겠죠? 문자를 포함하는 모든 문제를 유형화하는 것은 불가능하지만, 문자를 포함한 모든 문제에 대하여 "무엇을 문자로 볼 것인지"에 대한 고민으로 풀이를 시작하는 것은 그리 어렵지 않습니다. 그뿐만 아니라, 이는 매우 강력하고도 유용한 전략입니다. 따라서 문자를 여러 개 포함한 문제가 잘 풀리지 않는다면? "무엇을 문자로 볼 것인지"에 대한 고민으로 풀이를 시작하는 것을 강력하게 권장합니다!
5. 전자책 "서울대 박사가 알려주는 수학의 비밀 - 첫 번째 비밀 : 집합"에서
[공부법1] 원소인 것과 아닌 것을 구별하는 방법 = 주어진 대상이 어떤 집합에 속하는지, 속하지 않는지 파악하는 방법
을 신경 써서 공부할 것을 강조하였습니다. 본 포스팅은 이것을 다항식에 적용한 예시일 뿐입니다.
가령, [예제1]에서
1. x만을 문자로 생각한다면, 주어진 식은 "x에 대한 3차식들의 모임"이라는 집합의 원소가 됩니다.
2. y만을 문자로 생각한다면, 주어진 식은 "y에 대한 2차식들의 모임"이라는 집합의 원소가 됩니다.
3. x, y를 모두 문자로 생각한다면, 주어진 식은 "부정방정식들의 모임"의 원소이자 "x, y에 대한 4차식들의 모임"의 원소가 됩니다.
이처럼 "수학의 구조 특강"이나 전자책 "수학의 비밀" 시리즈에서는 문제의 유형별로 테크닉을 알려주는 대신, 모든 단원의 모든 개념과 문제에 적용 가능한 치트키에 대해 알려줍니다. 그리고 저의 수업이나 강의록에서는 '본 포스팅'에서처럼 특강이나 전자책에서 다룬 내용을 각각의 단원에 구체적으로 적용함으로써 학생들이 효과적으로 공부할 수 있도록 돕습니다.
6. 오늘 포스팅은 전자책 "수학의 비밀"의 미리보기 및 다운로드 링크와 후기로 마치도록 하겠습니다. 다음에 또 만나요 :)
1). "수학의 비밀 - 첫 번째 비밀 : 집합" : https://docs.orbi.kr/docs/10846
2). "수학의 비밀 - 두 번째 비밀 : 명제"의 링크 : https://docs.orbi.kr/docs/10847
3). "거의 모든 고난도 문제에 적용 가능한 치트키 1"의 링크 : https://orbi.kr/00062136893
4) 본 포스팅은 저의 블로그의 "https://blog.naver.com/math-fish/223026068836"를 오르비 양식에 맞게 포스팅한 것입니다.
5). 후기
(후기1)
(후기2)
(후기3)
(후기4)
수학의 비밀을 안 본 사람은 있지만, 한 권만 본 사람은 없습니다. (오르비에서 1권을 보신 분들의 100%가 2권 구매!) 아래는 3권에 대한 요청입니다.
PS. 그동안은 폐쇄적인 환경에서 소개로만 상담 및 수업을 진행하다가, 더 많은 학생들을 돕고 싶은 마음에 블로그 및 전자책 집필을 시작했습니다. 저의 블로그나 전자책이 도움이 되셨다면 주변에 널리 알려주시고, 덧글이나 후기를 부탁드립니다. 긍정적인 반응은 전자책 집필에도 큰 힘이 됩니다. (현재, 전자책은 3권까지 집필하고 검수 중입니다. 반응이 좋으면 4권~ 8권의 집필 속도를 높이고 차후에 강의록도 개념서로 출간하거나 강의 영상을 업로드 할 것이고, 반응이 없다면 전자책은 수업에서만 사용하고 출간하지 않을 계획입니다.)
0 XDK (+10)
-
10
-
2026 수능 목표로 하고있습니다. 올해 수능 전까진 수학만 공부 할 예정입니다....
-
기만질 존나하기
-
독해력 존나 늘었음 근데 본인이 ㅂㅅ인지는 모르겠는데 글은 잘 읽혀도 문제 안풀릴때가 꽤 많음ㅋㅋㅋ
-
아는 문제는 아주 조금만 준다 이거지 다음 달은 많이 줘라..
-
수특 레벨 3 4문제?정도 나왔고 평가원 킬러 변형 1문제 나옴 1컷이 80이라는데 뭐지..
-
문학 비문학 각각 무슨 지문이 어려웠음?
-
한국사 5등급 0
수시 학종 생각중이고 한국사 제외하면 1.3정도나오는디... 항국사가 5야......
-
넌 나를 보면 2
-
담주에 개강인데 설레네요
-
더프 수학 0
쉬웠던거였나.. 너무 잘 풀려서
-
독서 - 내가 못하는데 쉽게 나옴 6모 6틀 7덮 5틀 한지문 날린거 풀어보니 9분...
-
ㅇㅇ? 의대면 된거지 대체 왜...... 더 좋은의대 가려고 그러는건가? 아니면...
-
더프 국어 0
언매 6모 85였는데… 10점이나 떨어져쓰요? 행헹..
-
가족, 친척, 지인 총 동원해서 30명 가까이 모은 다음에 다같이 수능 현장응시하고...
-
과학 인문은 다맞았는데 법지문 3개틀림... 풀때 수월하게 풀었는데 ㅋㅋㅋㅋ
-
온 세계 위에
-
학과 코드는 이젠 안봐도 이미 뇌에 박혀버렸고.. 올해도 이렇게 가는구나아
-
내성적이면 서성한일려나 중경외시일려나
-
한 30점 나온듯. 6모에서 50가까이 나와서 공부안했어도 결국 수학 탐구하면서...
-
저메 추 좀 5
엄마랑 외식
-
본인 7덮 비문학 과학지문 1개 공납제 2개 틀림 수학 2개 빼고 다 품
-
(23614)2025기출정식(문제편+해설편) -->이 책인가요???
-
수능날까지 하루에 각각 1시간씩 할라고 하는데 ㄱㅊ한가?
-
본인레전드인게 6
국수영 점수 다 일의자리수가0임 절대평가형인재뭐지다노
-
대학잘가서 3
직년 고등학교 선배님처럼 애들 도와주고싶다 받은만큼 돌려주고싶다 정시로 고대 가시고...
-
시험 치러 갈때마다 최상위권 대거 유입했다고 이번년도 힘들다고 열심히해라고 하네요.
-
“국립대병원 2∼5월 수익 작년보다 1조2600억원 줄어” 3
의과대학 입학정원 증원 정책에 반발한 전공의(인턴·레지던트) 이탈 영향으로...
-
ㅅㅂ 진짜 인문 6/6 사회+과학 2/8 이게맞나..
-
6평 수학 15 22 28 3틀 88일줄 알았는데 74점 7덮 15 21 22 28...
-
더프 비문학 3
무슨 지문이 젤 어려움요?
-
내일은 감정불능[무감정] 땜시 회식 애먹은거 얘기해야겠다 1
아니 읏고 싶어도 못 웃어서 회식에서 열라 눈치 받음 그것도 대놓고... ㅋㅋㅋ...
-
7덮 국어 컷 0
더프 언매 4틀 80점인데 무보정 몇등급에 걸칠까요…?
-
칰힌 추천좀요 급함 12
아.. 뭘 먹어야되지.. 유명하지 않은 것도 ㄱㅊㄱㅊ
-
이게맞다
-
근데 다 틀림
-
미적은 어삼쉬사 미분조지고 공통은 뉴런간다...
-
ㅇㅈ 5
민초
-
제가 메가패스로 배선생님과 오선생님 강좌를 들으려합니다. 필수본이랑...
-
ㅇㅇ? 나는 아는 영어학원에서 워드마스터 수능 2000pdf 구한다음에 그거 잔뜩...
-
여름엔 추운 새끼가 입는거고 겨울엔 더운 새끼가 벗는거임 시발 개빡치네
-
1,4,7배열만 바꿔놨군요
-
연고대 문과생들 9
유튜브에 뽕 치사량 맞고 올리는 분들이 유독 많은 것 같음. 그것도 무슨 지방...
-
응 몰라 가능하다고 믿을거야~
-
7덮 후기(수학) 22
본인 88점 (22,28,30) 1-10 쉽고 11은 그냥 깡계산 12도 계산...
-
ㅇ
-
7덮 국어 64 0
5등급인가여????
-
아니 분명 3모 4모 5덮까진 문학은 칼춤추고 다녔는데 6모 7덮부턴 안됌 똑같이...
-
1컷 78 79 일거같다는거 진심이신가요.. 저 기대해도 되나요..?
예제1번에서 별 고민없이 대답해도, x를 기준으로 보면 3차, y를 기준으로 보면 2차 아닌가요?
맞죠. 무엇을 문자로 볼지에 대한 전제를 깔아주어야 한다는 이야기였어요. 가령, 무심코 “3차식!!” 이렇게 이야기하면 틀린 답이니까요.
그리고 대부분 학생들은 해당 내용을 공부할 때, 문자에 따라 차수가 달라지는구나 하고 넘어간 후에 잘 신경쓰지 않는 경우가 많은데,,
이게 사실은 무척 중요하다는 이야기를 하고 싶었습니다 :)
많은 학생들이 여러 가지 문자를 포함한 식에 대한 문제를 풀 때, 이에 대해 고민하기 보다는 유형회된 데로 풀거나 손 가는데로 푸는 경우가 많더라구요.
네. 선생님의 취지는 이해하는데 제 질문 취지는 오타가 아니었는지 질문드린 것이었습니다 ^^;
아깽이님 말씀처럼, 제 의도대로 해석되지 않을 수 있을 것 같아서 수정하였습니다. 감사합니다^^
수학물고기 폼 미쳤다
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/rabong/018.png)
감사합니다 :)예제 1 x만 문자로 볼 때 삼차식 아닌가요?
맞아요! 오타입니다. 제보 감사합니다^^