칼럼18) 곡선끼리 접할 때?

오랜만에 오르비에 들어와서 글을 보던 중...

이런 질문 글을 발견했습니다. 그리고 바로 영감이(?) 떠올라서 글을 쓰게 되었습니다.

몇 달 전에 올린 '안 소소한 테크닉' 에서 소개드렸던 내용으로 시작해볼게요. (링크는 첫 댓의 대댓글에!)

이럴 때에는 f(x)는 고정한 뒤에 상수함수 y=m을 움직여가면서 관찰합니다.

이럴 때에는 직선 y=mx에서 기울기를 빙글빙글 돌려가며 관찰해주구요,

이럴 때에는 이차함수를 파닥파닥거리면서 관찰하죠.

때에 따라 상황을 맘대로 바꿔버리기도 합니다.

풀진 않을건데, 아래 문제로 예시를 들어볼게요.

ebs 문제인데요 이 문제가 딱 그러하죠. a를 바꿔줘가면서 확인을 해줘야 하는데, 이걸

이렇게 써서 이차함수 그린 뒤에 삼차함수를 파닥거릴수도 있구요

이렇게 써서 오른쪽 함수 그린 뒤에 y=a를 위아래로 움직여줘도 되겠죠. 

이렇게 할 사람이 있나 싶다만 이것도 되긴 되죠 ㅋㅋㅋ

오른쪽 함수 그린 뒤에 a값을 바꿔가며 직선을 빙글빙글 돌려줘도 됩니다.

문제를 풀다보면 이런 관찰을 꽤나 자주 하게 됩니다. 간혹 무조건 (함수)=(상수) 꼴로 바꾸시는 분도 있는데, 개인적으론 비추입니다. 많은 생각을 할 필요 없이 매번 똑같이 푼다는 장점이 있긴 하지만요. 

아래 예시를 보실게요.

이걸 계산하는 상황에서 저 왼쪽 놈을 미분하자니... 머리가 아프죠. 이때 이렇게 할 수 있습니다.

와! 계산이 아주 쉬워져요.그림으로 그려서 상황 관찰하기도 수월합니다. 그림 상황에서 이차함수를 더 낮춰서 딱 접하게 되는 상황이 원하는 상황이네요. 

x=b에서 미분계수가 같다는 계산을 해봅시다.

간단히 마무리됩니다.

만약 위 상황에서 이렇게 하지 않고 x를 넘겼다면?

아... 이건 여러모로 더 힘듭니다.

 (함수)=(상수) 꼴이 늘 좋은 것은 아니란거죠. 상황에 따라 적절하게 변형해야 합니다.

넵 이런 내용이었습니다. 저는 '=상수' 로 두는 비율이 높지 않은 거 같아요. 개인적으로 곡선과 직선을 다루는게 익숙해서이기도 합니다.

직선은 여러분도 이미 다 아실거라 큰 문제가 없으나, 곡선은 정리해야할 포인트가 있습니다.  

특히 곡선과 곡선이 접하는 경우는 많이 다뤄보지 않았기에 어색할 수 있죠. 

질문자분의 마지막 말도 그런 맥락에서 나온 말 같네요.

그래서 곡선에 대한 제 지식을 좀 전달해드릴까 합니다. 이게 사설이나 n제 풀 때에는 종종 나오는거라 도움이 될 텐데, 수능과 평가원 시험에 도움 되냐 묻는다면... 대답은 no 입니다. 곡선과 곡선이 접하는 상황을 수능에서 낼 거 같진 않아요. 

그럼 왜 소개하는거냐... 다음과 같은 의의가 있어서 입니다.

- 본인이 변형하다가 곡선곡선 접하는 경우를 만들어버렸을 때 해결은 봐야죠 

- 도함수를 다루는 감각을 키울 수 있음

- 한 번 쯤 궁금해해봤을 내용임. 지적 호기심 충족,,,재밌을 겁니다

- 사설 풀다 빡칠 때 써먹을 수 있음

아 근데 난 필요 없다 싶으시면 안 보셔도 좋을 거 같아요. (좋아요는 눌러주고 가세요 ㅎㅅㅎ)

곡선과 곡선이 접하는 경우는 크게 두 가지로 나눌 수 있습니다.

1. 위볼과 아볼이 접함

딱 이 그림입니다. 전혀 어색한 게 없죠? 이건 그래도 직관적으로 잘 다가오는 편입니다.

문제는 다음 케이스에요.

2. 위볼과 위볼 / 아볼과 아볼이 접함

질문자 분이 보내신 케이스네요. 이 케이스가 어려운 이유는 접하는 부분 주위에서 일어나는 일들이 결정되지 않기 때문이에요. 

위 그림처럼 완전히 '내접' 할 수도 있지만

이거처럼 접하면서 뚫고 지나갈수도 있어요. 와 이건 정말 어색하죠?

삼차함수의 변곡접선처럼 뚫고 지나가는 접선의 "곡선 버전"인 셈이에요. 

아래 예시를 보겠습니다. (제가 예전에 질문받은 사설 문제입니다.)

사실 문제가 정확히 기억나진 않는데요 상황을 소개해드리자면

(초록색이 지수함수, 검정색이 이차함수)

이렇게 이차함수 f(x)가 y=e^x 함수를 x=0에서 접하면서 뚫고 지나가야 해요. 이처럼 곡선의 변곡점이 아니더라도 접하면서 뚫고 지나가는 상황이 만들어질 수 있습니다.

이럴 때는 어떻게 접근을 하냐...

도함수를 이용해보면 아주 쉽습니다.

(위 그림을 보면서 글을 따라오실게요)

x=0보다 약간 왼쪽에서는 f(x) 미분계수가 더 작고요(더 완만하게 올라오니까요)

x=0에선 미분계수가 같죠.

x=0보다 약간 오른쪽에서도 f(x)의 미분계수가 더 작아야 해요. (더 완만하게 멀어지네요)

즉 x=0 근방에서 e^x의 미분계수가 계속 더 큰겁니다. x=0일때만 잠깐 같은 것이구요.

이걸 도함수의 얘기로 바꿔볼게요.

(초록색이 지수함수의 도함수, 검정색이 이차함수의 도함수)

이차함수의 도함수가 y=x+1이겠죠. 계속 더 아래에 있으려면 이렇게 되어야 합니다. 도함수끼리 접해버리는거죠.

곡선과 곡선이 접하는 경우는 전부 이와 같은 도함수의 얘기로 환원돼요. 도함수 개념을 잘 떠올리시면서 해결하시면 됩니다.

더 보고 싶은 분들을 위해 재밌는 예시 하나를 보여드리고 마무리하겠습니다.

(예시) 

우리가 흔히 cosx를 옆에 저 이차함수로 '근사'하죠. 대충 그려봐도 x=0 근처에서 굉장히 비슷하게 생겼습니다. 근데 뭐가 좀 더 위에 있는지 궁금하지 않나요?! 

실제로 논술에 종종 나오는 문제인데, 앞서 소개드린 도함수 접근으로 해결가능합니다.

해석을 해볼게요.

x=0+ 에선 이차함수가 더 미계가 작고

x=0- 에선 이차함수가 더 미계가 크네요.

극단적으로 그려보자면 이렇게 되는겁니다. 내접하는 경우네요. cosx가 더 위에 있습니다. 

사실 h(x)= cosx-x제곱 함수를 만들어서 h(x)의 도함수를 관찰해도 되는데요, 도함수 감각 잘 살려보기 위해 소개드려봤습니다.

더 관심있으신 분들은 아래 예시도 직접 해보셔요!

전 예전에 1/x와 lnx 중 뭐가 더 가파르게 떨어질까가 궁금했었는데 이게 딱 그 내용을 담고 있습니다.

준비한 내용은 여기까지입니다. 다음에 더 유용한 수학 칼럼으로 찾아뵙겠습니다 :)

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#무민